Mathematik online lernen im Mathe-Forum. Nachhilfe online

Startseite » Forum » Trigonometrische Funktionen - Nullstellen?

Trigonometrische Funktionen - Nullstellen?

Schüler Gymnasium, 10. Klassenstufe

Tags: Nullstellen, Trigonometrische Funktionen

LisaWeberl aktiv_icon

21:37 Uhr, 11.07.2014

Funktion:

f (x) =

2cos(x)

- \sqrt{3}

Aufgabe: Bestimmen Sie die exakten Nullstellen der Funktion

f

auf

D = [- 4; 6.5)

Bereits berechnet habe ich folgende Nullstelle:

\pm \frac{π}{6}

Nun habe ich ein Problem, wie ich die weitere Nullstellen finden kann. Ich dachte über die Periodenlänge. Diese beträgt ja

2 π . .

. Bei einer ganzen Periodenlänge gibt es ja immer zwei Nullstellen. Es müsste also eine Nullstelle nach der

\frac{π}{6}

Nullstelle bei

\frac{7}{6} π (

gerechnet:

\frac{π}{6} + π)

und

\frac{13}{6} π

kommen... Stimmt das?

Würde mich sehr über eine leicht verständliche Erklärung freuen! Vielen Dank!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Tangensfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
Kosinusfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
Sinusfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
Nullstellen (Mathematischer Grundbegriff)
Vielfachheit einer Nullstelle (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Allgemeine Exponentialfunktion - Fortgeschritten
Allgemeine Sinusfunktion
Nullstellen
Nullstellen bestimmen
Polynomdivision

Allgemeine Exponentialfunktion - Fortgeschritten
Allgemeine Sinusfunktion
Nullstellen
Nullstellen bestimmen

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

Ableitung der trigonometrischen Funktionen

Wie lauten die Ableitungsfunktionen der Winkelfunktionen?

Wie lauten die Ableitungsfunktionen der trigonometrischen Funktionen?

Graph einer allgemeinen Sinusfunktion zeichnen

Wie zeichnet man den Graphen einer allgemeinen Sinusfunktion?

Herleitung: Ableitung der Kosinusfunktion

Wie leitet man die Kosinusfunktion ab?

Herleitung: Ableitung der Sinusfunktion

Wie leitet man die Sinusfunktion ab?

Herleitung: Ableitung der Tangensfunktion

Wie leitet man die Tangensfunktion ab?

Hoch- bzw. Tiefpunkte einer allg. Sinusfunktion

Wie bestimmt man die Hochpunkte bzw. die Tiefpunkte einer allgemeinen Sinusfunktion?

Kurvendiskussion einer ganzrationalen Funktion 3. Grades

Wie führt man eine Kurvendiskussion einer ganzrationalen Funktion 3. Grades durch?

Kurvendiskussion einer ganzrationalen Funktion 5. Grades

Wie führt man eine Kurvendiskussion einer ganzrationalen Funktion 5. Grades durch?

Nullstellen einer Potenzfunktion bestimmen

Wie bestimmt man die Nullstellen einer Potenzfunktion?

Nullstellen einer Potenzfunktion bestimmen

Wie bestimmt man die Nullstellen einer Potenzfunktion wenn der Exponent

n = 2

oder

n = - 2

ist?

Nullstellen einer allg. Sinusfunktion bestimmen

Wie bestimmt man die Nullstellen einer allgemeinen Sinusfunktion?

Wie bestimmt man die Schnittpunkte einer allgemeinen Sinusfunktion mit der x-Achse?

Nullstellen von Polynomfunktionen

Wie bestimmt man die Nullstellen von Polynomfunktionen?

Periodenlänge einer allg. Sinusfunktion bestimmen

Wie bestimmt man die Periondenlänge einer allgemeinen Sinusfunktion?

Phasenverschiebung einer allg. Sinusfunktion

Wie bestimmt man die Phasenverschiebung einer allgemeinen Sinusfunktion

Wertemenge einer allg. Sinusfunktion bestimmen

Wie bestimmt man die Wertemenge einer allgemeinen Sinusfunktion?

Wie bestimmt man den kleinsten und größten Funktionswert einer allgemeinen Sinusfunktion?

Wie löst man eine quadratische Gleichung?

Wie löst man eine quadratische Gleichung?

Wie bestimmt man die Nullstellen einer quadratischen Funktion?
Wo schneidet eine Parabel die x-Achse?

Ma-Ma aktiv_icon

22:25 Uhr, 11.07.2014

Nullstellen bei plusminus

\frac{π}{6}

stimmen.
Der Rest nicht, da die Funktion nach unten verschoben ist.

Lass Dir die Funktion mal plotten.
Schaue Dir dann die Hochpunkte an.
LG Ma-Ma

LisaWeberl aktiv_icon

22:30 Uhr, 11.07.2014

Hallo Ma-Ma,

die Funktion habe direkt mal plotten lassen... Siehe Anhang.

So richtig schlau werde ich daraus aber nicht. Zudem kann ich das ja leider in keiner Arbeit machen

; (

Ma-Ma aktiv_icon

22:40 Uhr, 11.07.2014

Allgemein:

f (x) = a cos (b x + c) + d

Hier:

f (x) = 2 cos (x) - \sqrt{3}

a =

Amplitude

d =

Verschiebung auf der y-Achse.
Das ist Dein Ansatzpunkt für die Skizze.

1)

Zeichne ein Koordinatensystem.

2)

Zeichne ("in" einer anderen Farbe) eine Gerade bei

y = - (\sqrt{3})

rund

- 1,7

Und genau für diese Gerade zeichne jetzt Deine Kosinusfunktion mit der Amplitude 2.
(Du kommst dann auf Deinen Plot. Handskizze ca.

3 min .)

Wenn Du das hast, melde Dich nochmal.

Ma-Ma aktiv_icon

22:45 Uhr, 11.07.2014

Sollte dann etwa so aussehen:

LisaWeberl aktiv_icon

22:56 Uhr, 11.07.2014

Hallo,

meine etwas dilettantisch wirkende Zeichnung ist nun fertig...

Mit der Ampli. etc. ist mir alles klar ;-) Das habe ich die letzten Tage intensiv gelernt. Habe nur das Problem aufgrund der vorhandenen Verschiebung auf die weiteren Nullstellen zu kommen.

Vielen Dank ;-)

Ma-Ma aktiv_icon

23:06 Uhr, 11.07.2014

1)

Deine Skizze kannst Du nach rechts noch ein bissl verlängern, damit Du den Hochpunkt bei 2 PI noch raufbekommst.

2)

Ich würde auf der x-Achse eher das Bogenmaß (also pi-Werte) auftragen. Ist geschickter.
(Weiß gerade nicht, wie das bei meinem Plotter geht.)

- - - - - - - - - - - - - - -

Jetzt schau auf die Hochpunkte.

Ein Hochpunkt bei

x = 0

. Die Nullstellen liegen rechts und links im Abstand von

\frac{π}{6}

.
Anderer Hochpunkt bei

x = 2 π

. Die Nullstellen liegen rechts und links im Abstand von

\frac{π}{6}

.
Anderer Hochpunkt bei

x = - 2 π

. Die Nullstellen liegen rechts und links im Abstand von

\frac{π}{6}

LisaWeberl aktiv_icon

23:22 Uhr, 11.07.2014

Dann sollte das ganz einfach sein ;-)

Dann wäre rechts zum Beispiel eine Nullstelle bei

\frac{11}{6} π

und bei

\frac{13}{6} π

Ma-Ma aktiv_icon

23:28 Uhr, 11.07.2014

Richtig.
Nun noch prüfen, ob diese beiden im angegebenen Intervall liegen !

- - - - - - - - -

Dann das gleiche Spiel mit dem Hochpunkt bei

- 2 π

LisaWeberl aktiv_icon

23:33 Uhr, 11.07.2014

Dann gibt es auch noch eine Nullstelle bei

- \frac{13}{6} π

und bei

- \frac{11}{6} π

;-)

Betrachte ich den Wertebereich. Dann brauche ich nur die folgenden Nullstellen:

\pm \frac{π}{6}

und

\frac{11}{6} π

;-)

Ma-Ma aktiv_icon

23:38 Uhr, 11.07.2014

Sehe ich auch so

. .

.
LG Ma-Ma

LisaWeberl aktiv_icon

23:44 Uhr, 11.07.2014

Freut mich, dass das stimmt.

Hätte eve. noch eine Frage, falls du Zeit und Lust hast.

Funktion:

f (x) =

0.5sin(x)

+ 0.25; x \in [- 1; 2 π]

Aufgabe: Berechnen Sie zwei aufeinander folgende Nullstellen ungerundet.

Hier habe ich nun

f (x) = 0

gesetzt und bin nun bei folgendem Schritt:

sin (x) = - \frac{1}{2}

Nun könnte ich in die FS schauen und den X-Wert für

- \frac{1}{2}

suchen und hätte die Lösung. Leider gibt es hier aber nur den Wert für

\frac{1}{2} . .

Ma-Ma aktiv_icon

00:04 Uhr, 12.07.2014

sin (x) = - \frac{1}{2}

Für diese Teilaufgabe: Skizze der Sinusfunktion.
Schaue, wo

sin (x) = \frac{1}{2}

ist. Suche den Wert aus der FS dazu.

Blick auf Skizze, wo ist

sin (x) = - \frac{1}{2}

?
Du findest sicher da mehrere passende Werte

. .

. versuch´s mal.

rundblick aktiv_icon

00:13 Uhr, 12.07.2014

.
zweiter Tipp:

du weisst doch sicher, dass sinus-Werte die Ordinaten

(\to

y-Werte)
von Punkten auf dem Einheitskreis

x^{2} + y^{2} = 1

sind

also Vorschlag:

zeichne einen Einheiskreis
und die Gerade

y = - \frac{1}{2} .

. die schneidet den Kreis in zwei Punkten

\to

?zugehörende Winkel?

vergleiche mit den Punkten, die sich auf

y = + \frac{1}{2}

ergeben

und nun kannst du gewiss die entsprechenden Winkel alle aufschreiben
(..und jeweils

2 k π

weiterdrehen..)

LisaWeberl aktiv_icon

00:13 Uhr, 12.07.2014

Dieses Thema werde ich wohl nie checken...

: O

Mal die Funktion im Anhang. Habe das mit dem Plotter gemacht, damit ich eine saubere Version zum schauen habe.

Bei

\frac{π}{6}

ist

sin (x) = \frac{1}{2}

Da ist aber bei dem Graphen keine Nst... Sondern eher bei

- \frac{π}{6}

Vielen Dank, für deine engagierte Hilfe. Stelle mich bei dem Thema echt blöd an

: (

Ma-Ma aktiv_icon

00:20 Uhr, 12.07.2014

Das passt.
Für

sin (x) = - \frac{1}{2}

hast Du eine Nullstelle bei

- \frac{π}{6}

gefunden.

Nun der 2.Schritt:
Für deine Funktion

f (x)

sind weitere Nullstellen gesucht.
Funktion ist wieder verschoben, diesmal um

0,25

nach oben und die Amplitude ist

0,25

1)

Koordinatensystem zeichnen. (x-Achse mit pi-Werten)

2)

Farbige Gerade bei

y = 0,25

3)

Um DIESE Gerade die Sinusfunktion mit Amplitude

0,5

zeichnen.
(Alles genauso wie bei der ersten Aufgabe.)

Mach mal die Skizze, ich zeig in

3 min

hier meinen Plot.

LisaWeberl aktiv_icon

00:24 Uhr, 12.07.2014

Hallo Ma-Ma,

das werde ich machen, aber bitte morgen. Bin total müde. Ich veröffentliche das hier morgen um

15 : 00

Uhr ;-)

Wünsche eine gute Nacht und bedanke mich recht herzlich!!!!

rundblick aktiv_icon

00:25 Uhr, 12.07.2014

@ Ma-Ma :

alle Nullstellen von

\to f (x) = 0.5 sin (x) + 0.25

sind dort, wo

\to sin (x) = - \frac{1}{2}

x_{1, k} = \frac{7 π}{6} + 2 k π

x_{2, k} = \frac{11 π}{6} + 2 k π

... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... . .

. mit

k \in Z

da brauchst du keine Verschiebungen und keinen anderen farbigen Firlefanz..
was soll also die Quälerei? .. bei

\to sin (x) = - \frac{1}{2} \to

genügt zB der Einheitskreis..

Ma-Ma aktiv_icon

01:27 Uhr, 12.07.2014

@rundblick: JA, mit dem Einheitskreis geht´s auch.

In Klausuren wird aber meist verlangt, die Funktion zu skizzieren und die Nullstellen dort abzulesen. Aus diesem Grunde eine Skizze der Funktion.

rundblick aktiv_icon

01:46 Uhr, 12.07.2014

"
In Klausuren wird aber meist verlangt, die Funktion zu skizzieren
und die Nullstellen dort abzulesen"

.. wau ..

\to

Ma-Ma, dann versuche doch mal oben die Aufgabenstellung zu lesen und zu verstehen.

also: in Klausuren wird normalerweise klar gesagt. was verlangt ist
und die Typen, die dann am Thema vorbei allerlei Ballast zusätzlich
einbauen, sind selber schuld, wenn sie dabei ins Rotieren kommen

na ja, kein Wunder, wenn die arme Fragestellerin verzeifelt .. siehe

\to

"Stelle mich bei dem Thema echt blöd an "

eigentlich aber schade, da die Aufgabe ja echt harmlos zu erklären wäre..

LisaWeberl aktiv_icon

11:57 Uhr, 12.07.2014

Hallo,

ich habe eben noch mal bei der Funktion ohne die

0.25

Verschiebung die Nullstellen ausgerechnet. Diese sind ja

0, π

und

2 π

Ohne die Verschiebung ist es total einfach das ganze auszurechnen...

Meine Lehrerin hat bei der Funktion mit Verschiebung die erste Nullstelle wie folgt berechnet:

x 1 = π + \frac{π}{6} = \frac{7 π}{6}

Wie ist meine Lehrerin auf den Wert

\frac{π}{6}

gekommen?

Leider finde ich nirgends einen Plotter, welcher die Funktion mit Pi-Werten anzeigt?

Danke!

Christian09 aktiv_icon

15:54 Uhr, 12.07.2014

Hallo Lisa, diese Aufgabe habe ich deinem Mitschüler erklärt. Siehe die letzte Aufgabenstellung (er hat in dem Thread auch mehrere Aufgabenstellungen geposted)

Such dir einfach die entsprechende Aufgabe raus. Ich habe dort alles ausführlich erklärt!

http//www.onlinemathe.de/forum/Trigonometrische-Funktionen-Nullstellen-67

Kurze Unterstützung: ich kann in den Taschenrechner

{sin}^{- 1} (\frac{1}{2})

eingeben und erhalte damit 30° - die 30° kann ich umrechnen. Die Umrechnungsmethode habe ich auch dort eingefügt. Damit erhälst du für dein Bogenmaß

\frac{π}{6}

Ansonsten hilft dir dein Formelbuch wo

sin (x) = \frac{1}{2}

im Bogenmaß mit

\frac{π}{6}

angegeben wird! Den Rest der Erklärungen findest du ausführlich in dem anderen Thread!

Solltest du noch Fragen dazu haben, dann stell die Fragen bitte an dieser Stelle.

Bewertung kannst du dann auch hier übernehmen (ich muss noch ein paar positive fürs Ego sammeln :-D) :-D) - und es bewertet ja nicht jeder ;-) - also eigentlich nur dafür, damit mir auch geholfen wird, wenn ich Fragen habe ;-) )

Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.

1177572

1177462

	Status: nicht eingeloggt	Noch nicht registriert?