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Vorzeichenwechsel

Schüler Gymnasium, 12. Klassenstufe

Tags: Ableitung, ln-Funktion, Vorzeichenwechsel

m4th3 aktiv_icon

20:30 Uhr, 03.04.2013

Hey, ich habe hier eine abgeleitete Funktion:

f' (x) = (ln (x) - a) \cdot (ln (x) - a + 2)

Ich soll die Extremwerte rauskriegen. Klar, Nullstellen sind

e^{a}

und

e^{a} - 2

Um zu überprüfen, um welche Extremstellen es sich handelt, kann ich die 2. Ableitung betrachten.

Aber ich könnte auch die Vorzeichenwechsel an den Nullstellen überprüfen: Aber wie geht das?
Ich kann das irgendwie nur mit "normalen" Zahlen; doch wenn ein Parameter gegeben ist, in dem Fall

a,

dann weiss ich nicht, was ich einsetzen soll, um das VzW zu überprüfen.

Weiss jemand weiter?

Danke für Hilfe!
Gruß

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Bummerang

07:47 Uhr, 04.04.2013

Hallo,

also die Nullstellen sind nicht

e^{a}

und

e^{a} - 2

sondern

e^{a}

und

e^{a - 2}

. Die Extremstellen sind doch einfach zu finden:

f' (x) = \frac{1}{x} \cdot (ln (x) - a + 2) + (ln (x) - a) \cdot \frac{1}{x} = \frac{2}{x} \cdot (ln (x) - a + 1)

Potentielle Extremstelle:

e^{a - 1}

Wegen der Stetigkeit der Funktion im Intervall

[e^{a - 2}; e^{a}]

und der Tatsache, dass es in diesem Intervall genau eine Stelle mit der Ableitung Null gibt, ergibt sich, dass es sich bei

e^{a - 1}

tatsächlich um eine Extremstelle handelt. Da nun

f (e^{a - 1}) = (a - 1 - a) \cdot (a - 1 - a + 2) = (- 1) \cdot 1 = - 1

kleiner als Null ist und diese Extremstelle zwischen den beiden Nullstellen

e^{a - 2}

und

e^{a}

liegt, handelt es sich offensichtlich um eine Minimalstelle.

Man kann auch mit dem Vorzeichenwechsel argumentieren, denn für den Term in der Klammer ergeben sich für

x < e^{a - 1}

negative Werte und für

x > e^{a - 1}

positive Werte. Der Term vor der Klammer ist stets positiv. Das ergibt wieder eine Minimalstelle.

Man kann auch die zweite Ableitung bilden:

f'' (x) = - \frac{2}{x^{2}} \cdot (ln (x) - a + 1) + \frac{2}{x} \cdot \frac{1}{x} = \frac{2}{x^{2}} \cdot (a - ln (x))

f'' (e^{a - 1}) = \frac{2}{{(e^{a - 1})}^{2}} \cdot (a - (a - 1)) = \frac{2}{{(e^{a - 1})}^{2}} > 0

Bummerang

07:47 Uhr, 04.04.2013

EDIT: Inhalt gelöscht, irgendwie wurde der Post doppelt eingefügt...

m4th3 aktiv_icon

17:58 Uhr, 04.04.2013

Ok, ich habs jetzt verstanden :-) Danke für die ausführliche Antwort

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