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Wendestellen der e-Funktion

Schüler Gymnasium, 12. Klassenstufe

Tags: Kurvendiskussion, Nullstellen

anonymous

18:37 Uhr, 09.11.2011

Hallo ;-)

Ich soll eine Kurvendiskussion für eine e-Funktion durchführen und hänge nun bei den Wendestellen.
Bedingung dafür ist da

f'' (x) = 0 \land f''' (x) \neq 0

.

Die zweite Ableitung lautet

f'' (x) = e^{x} (x^{3} + 3 x^{2} - 6 x - 6),

ich muss sie nullsetzen:

0 = e^{x} (x^{3} + 3 x^{2} - 6 x - 6)

Also

e^{x} = 0 \lor x^{3} + 3 x^{2} - 6 x - 6 = 0

ln (0)

nicht definiert ist, betrachte ich jediglich

x^{3} + 3 x^{2} - 6 x - 6 = 0

.
Ich kann dies allerdings nicht nach

x

auflösen. Mit der Polynomdivision komme ich auch nicht weiter, da sich durch Raten keine Nullstelle ermitteln lässt (jedenfalls bei mir nicht).

Könnt ihr mir da weiterhelfen?
Lieben Gruß, Thomas

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Nullstellen (Mathematischer Grundbegriff)
Vielfachheit einer Nullstelle (Mathematischer Grundbegriff)
Kurvendiskussion (Mathematischer Grundbegriff)
e-Funktion (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Allgemeine Exponentialfunktion - Fortgeschritten
Allgemeine Sinusfunktion
Nullstellen
Nullstellen bestimmen
Polynomdivision

Allgemeine Exponentialfunktion - Fortgeschritten
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Nullstellen
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rundblick aktiv_icon

18:39 Uhr, 09.11.2011

wäre vielleicht eine gute Idee, du notierst auch noch die Gleichung
der gegebenen Funktion?

anonymous

18:53 Uhr, 09.11.2011

Oh entschuldigung:

f (x) = e^{x} (x^{3} - 3 x^{2})

rundblick aktiv_icon

19:06 Uhr, 09.11.2011

du siehst das richtig:
die kubische Gleichung hat keine ganz friedlichen Lösungen..

vermutlich kennst du aber numerische (oder graphische) Methoden , um die
dreihier vorhandenen Lösungen zumindest näherungsweise aufzuspüren?

die könnten ungefähr so aussehen?:

- 4,105 . .

- 0,7765 .

1,8820 .

anonymous

20:33 Uhr, 09.11.2011

Kann man sonst auch über eine andere Methode auf die Wendestellen schließen? Also nicht mit der zweiten und dritten Ableitung?

Oder kann man einige Aussagen über die Wendepunkte allein aus

f (x)

ziehen?

DmitriJakov aktiv_icon

20:39 Uhr, 09.11.2011

Ich sehe bei dieser Aufgabe 2 Ausgänge:
Erster Ausgang: Du hast die Aufgabe falsch aufgeschrieben oder sie hat einen Druckfehler

Zweiter Ausgang: Die genaue Position der Wendepunkte ist gar nicht gefragt, sondern bestenfalls ihre Anzahl und ihre ungefähre Lage.

WolframAlpha sagt zu dieser Funktion dies: www.wolframalpha.com/input/?i=e%5Ex*%28x%5E3-3x%5E2%29

anonymous

20:43 Uhr, 09.11.2011

Aufgabe ist:
Grenzwert für

x \to \infty

und

x \to - \infty,

Nullstellen, Etrempunkte, Ableitungen und Stammfunktion zu ermitteln.
Über die Wendestellen soll man sagen, welche Aussage man aus der Funktion auf diese schließen kann.

Unsere Lehrerin meinte aber nur, Kurvendiskussion, was für mich die Berechnung der Wendestellen mit einschließt. Vielleicht sollte man aber doch eher das machen, was zu den Wendestellen in der eigentlichen Aufgabe steht..

DmitriJakov aktiv_icon

20:53 Uhr, 09.11.2011

Nun, wenn eine Funktion 2 Extrema hat, dann hat sie auch (mindestens) eine Wendestelle. Das ist wahrscheinlich gemeint, wenn gefragt wird welche Aussagen man aus der Funktion über diese machen kann.

Deine Funktion hat 3 Extrema. Was kannst Du dann über die (mindest-)Anzahl der Wendepunkte sagen?

anonymous

21:02 Uhr, 09.11.2011

Ja sie hat dann mindestens 2 Extrema.
Kann man auch eine Aussage über die Maximale anzahl der Extrema treffen? Eher nicht, oder?

DmitriJakov aktiv_icon

21:07 Uhr, 09.11.2011

Die maximale Anzahl der Wendestellen kannst Du aus dem Grad der ganzrationalen Form ablesen:

G r a d - 2 =

Anzahl der maximal möglichen Wendestellen.

anonymous

21:18 Uhr, 09.11.2011

Ich versuche grade zu verstehen wieso..

also eine FUnktin

n

. Grades kann maximal

n

Nullstellen haben. Also hat sie dann doch maximal

n - 1

Extremstellen, oder? Und zwischen 2 Extremstellen liegt eine Wendestelle, zwischen 3 Extremstellen

2 .

.
Also

n - 2

Extremstellen. Stimmt meine Überlegung so, oder habe ich einen Denkfehler?

anonymous

21:22 Uhr, 09.11.2011

Ich habe bei meiner Funktion aber ein

x

im Exponenten. Und der Definitionsbereich ist

f : D \to ℝ

.

Es handelt sich also in meinem Fall um keine ganzrationale Funktion, oder?

Aber ich kann ja trotzdem sagen, dass meine Funktion maximal 3 Wendestellen hat, da aus der Gleichung, die man so nicht nach

x

umformen kann, folgt, dass maximal 3 Nullstellen (da 2. ABleitung = maximal 3 Wendestellen) existieren. Richtig? Es gibt also minimal 2 und maximal 3 Wendestellen.

DmitriJakov aktiv_icon

21:36 Uhr, 09.11.2011

Aus einen letzten beiden postings ergeben sich einige Behauptungen:
Eine Funktion n-ten Grades kann

n

Nullstellen haben: Ja
Also hat sie dann doch maximal

n - 1

Extremstellen: Ja
Zwischen 2 Extremstellen liegt 1 Wendestelle: Ja

Ich habe bei meiner Funktion ein

x

im Exponenten: Nein
Es handelt sich in meinem Fall also um keine ganzrationale Funktion: Doch!

Den letzten Absatz kommentiere ich jetzt mal nicht, da ich fürchte, dass seine überwiegend richtige Aussage aufgrund von falschen Annahmen getroffen wurde :-D)

anonymous

21:40 Uhr, 09.11.2011

aber ich dachte eine rationale Funktion darf nur Exponenten aus

ℕ

enthalten..

Und gerade beim letzten Absatz war ich mir sicher, stimmt der so nicht?
Ich meinte eigentlich damit nur, dass wir ja für die Wendestellen folgende Gleichung betrachten:

x^{3} + 3 x^{2} - 6 x - 6 = 0

Es gibt also maximal 3 Lösungen = maximal 3 Nullstellen.

DmitriJakov aktiv_icon

21:45 Uhr, 09.11.2011

Du weisst schon was ein Exponent ist, oder? Ein Exponent ist die hochgestellte Zahl.

anonymous

21:54 Uhr, 09.11.2011

Richtig..

Eine rationale Funktion ist doch zusammengesetzt aus einem oder meheren Polynomen. heißen die Polynome

p

und

q,

dann wäre

f (x) = p \frac{x}{q} (x)

eine rationale Funtion.

Und ein Polynom ist so definiert, laut meinem Schulbuch hier: Es sei

n

eine natürliche Zahl oder Null und es seien

a_{o}, a_{1}, ..., a_{n}

reelle Zahlen. Eine Funktion

p (x),

die sich in der Form

p (x) = a_{n} \cdot x^{n} + a_{n - 1} \cdot x^{n - 1} + ... + a_{0}

darstellen lässt, nennt man ein Polynom vom Grad

n

.

Ich bin grad irgendwie irritiert.. Also wäre auch

f (x) = \frac{2^{x}}{x}

eine rationale Funktion?

DmitriJakov aktiv_icon

22:05 Uhr, 09.11.2011

Ich beschreibe es jetzt mal anders:

Eine ganzrationale Funktion ist vom Typ

a \cdot x^{b},

wobei

x

die übliche nRolle des Variablen annimmt. Der Parameter a kann werden was er will. Er kann ein Bruch sein, oder er kann eine Würzel sein.

Aber

b

ist auf jeden Fall eine ganze Zahl

anonymous

22:10 Uhr, 09.11.2011

Ja genau,

b

muss eine ganze Zahl sein. Darf

b

auch negativ sein? also ist

b \in ℕ

oder

b \in ℤ

? Ich hatte ja das Beispiel mit den Polynomen

p

und

q

. Der Autor von dem Buch was ich hier habe schreibt, dass innerhalb von

p

und

q

nur

b \in ℕ

gilt. (Die Null mit eingeschlossen)

DmitriJakov aktiv_icon

22:14 Uhr, 09.11.2011

b

ist eine Natürliche Zahl

ℕ

. Damit darf

b

nicht negativ sein, denn die negativen ganzen Zahlen liegen erst in der größeren Menge

ℤ

anonymous

22:20 Uhr, 09.11.2011

Ja gut, aber wieso ist dann die Funktion, aus meinem 2. post, eine rationale Funktion?
aber

f (x) = x^{- 3}

ist doch auch eine rationale Funktion, weil das ja identisch mit

f (x) = \frac{1}{x^{3}}

ist.
Währenddessen

g (x) = x^{- 3} + x^{- 1} + x^{2}

keine rationale Funktion ist... Wenn das jetzt stimmt hab ich es verstanden :-D)

DmitriJakov aktiv_icon

22:33 Uhr, 09.11.2011

Irgendwie sind wir vom Thema abgekommen:

f (x) = x^{- 3}

ist keine ganzrationale Funktion, denn der Exponent

(- 3)

ist zwar eine ganze Zahl, aber er ist negativ und daher

\notin ℕ

g (x) = x^{- 3} + x^{- 1} + x^{2}

enthälz ebenfalls negative Exponenten. Daher: Auch hier liegt keine ganzrationale Funktion vor.

Zum Nachschauen nochmal hier: de.wikipedia.org/wiki/Ganzrationale_Funktion

anonymous

22:50 Uhr, 09.11.2011

(gelöscht..)

anonymous

22:53 Uhr, 09.11.2011

Aber

f (x) = x^{- 2}

wäre eine gebrochenrationale Funktion, oder?

Ganzrationale Funktion = Polynom, Exponenten aus

ℕ

gebrochenrationale Funktionen = rationale Funktion (aus meheren ganzrationalen Funktionen zusammengesetzt?!)

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