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Wie wurde gleichgesetzt? (Schnittpunkte 2 Geraden)

Schüler

Tags: Abschlussprüfung, Allgemein form, Auflösen, Brüche, Bruchgleichung, Funktion, Funktionsgleichung, Gleichsetzen, Gleichsetzungsverfahren, Koordinaten, Normalform, Parabel, Parabelgleichung, Realschule, Schnittpunkt, X. nenner

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01:22 Uhr, 17.06.2014

Hallo Leute! Hab eine Frage zu einer Gleichsetzung. Ich habe eine Gerade und eine Funktion, beide schneiden sich in 2 Punkten.
Die Funktion

f

hat die Gleichung

y = - \frac{3}{x}

und die Gerade

g

hat die Gleichung

y = - \frac{3}{4} x + 3

Die Aufgabe: berechnen Sie die Koordinaten der Schnittpunkte der Geraden

g

mit dem Graphen zu

f

auf zwei Stellen nach dem Komma gerundet.
Der Lösungsweg ist mir bekannt. Beide Gleichungen auf die Form

a \cdot x^{2} + b \cdot x + c = 0

bringen und anschließend mit der Diskriminante Lösungen für

x

berechnen. Allerdings versteh ich nicht, WIE beide Gleichungen gleichgesetzt wurden. In der Lösung steht es wie folgend:

- \frac{3}{x} = - \frac{3}{4} x + 3

\Leftrightarrow \frac{1}{x} = \frac{1}{4} x - 1

\Leftrightarrow 4 = x^{2} - 4 x

\Leftrightarrow x^{2} - 4 x - 4 = 0

Den letzten Schritt

(4 = x^{2} - 4 x \Leftrightarrow x^{2} - 4 x - 4 = 0)

versteh ich natürlich, nur die ersten 3 Schritte machen mir große Probleme. Kann mir jemand helfen, diese Umformung nachzuvollziehen? Vielen Dank im Voraus!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Schnittpunkte bestimmen
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)
Quadratische Funktionen (Mathematischer Grundbegriff)
Parabel (Mathematischer Grundbegriff)
Quadratische Ergänzung

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Addition von Brüchen
Bruchterme und Bruchgleichungen
Brüche - Einführung
Dezimalbrüche - Einführung
Einführung Funktionen
Hyperbeln
Lagebeziehung Gerade - Ebene (in Normalenform)
Lagebeziehung Gerade - Ebene (in Parameterform)

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Ma-Ma aktiv_icon

01:27 Uhr, 17.06.2014

y_{1} = - \frac{3}{x}

y_{2} = - \frac{3}{4} x + 3

- - - - - - - - - - - - - -

y_{1} = y_{2}

- \frac{3}{x} = - \frac{3}{4} x + 3

Wo ist jetzt Dein Problem ?

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01:30 Uhr, 17.06.2014

Ich versteh nicht wie man von

- \frac{3}{x} = - \frac{3}{4} x + 3

auf

\frac{1}{x} = \frac{1}{4} x - 1

usw. kommt

Ma-Ma aktiv_icon

01:36 Uhr, 17.06.2014

Verstehst Du das Gleichsetzen ?

y_{1} = y_{2}

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01:40 Uhr, 17.06.2014

Ja, mit dem Gleichsetzen im Allgemeinen habe ich keine Probleme, allerdings versteh ich die Umformungen nicht ganz genau.

- \frac{3}{x} = - \frac{3}{4} x + 3 \Leftrightarrow \frac{1}{x} = \frac{1}{4} x - 1

wie komm ich auf

- 1

? Oder von

\frac{1}{x} = \frac{1}{4} x - 1 \Leftrightarrow 4 = x^{2} - 4 x

wie genau muss ich umformen, damit ich

x^{2}

erhalte und woher kommt die

- 4 x

Ma-Ma aktiv_icon

01:49 Uhr, 17.06.2014

Okay, wichtigsten Punkt hast Du vertsanden. Schnittpunkte

\to

Funktionen gleichsetzen.

y_{1} = y_{2}

- \frac{3}{x} = - \frac{3}{4} x + 3

Wir suchen ein

x

. Dafür gibt es mehrere Varianten zur Lösungsfindung.

Beispiel :
Alles mal

x :

- \frac{3}{x} \cdot x = - \frac{3}{4} x \cdot x + 3 \cdot x

- 3 = - \frac{3}{4} x^{2} + 3 x

Verstehst Du diesen Rechenweg ?

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01:52 Uhr, 17.06.2014

Ja, bis jetzt kein Problem

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01:57 Uhr, 17.06.2014

Ach stimmt! Jetzt kann ich einfach

- 3 = - \frac{3}{4} x^{2} + 3 x | + 3

\Leftrightarrow 0 = - \frac{3}{4} x^{2} + 3 x + 3

(a = - \frac{3}{4}; b = 3; c = 3)

Und mit der Diskriminante komm ich dann auf die Lösungen

x = - 0,83

oder

x = 4,83

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01:59 Uhr, 17.06.2014

In der Lösung wurde es so kompliziert dargestellt, dass ich den Wald vor lauter Bäumen nicht sah :-D)

Vielen Dank nochmal für die "einfachere" Lösung! Und gute Nacht noch!

EDIT: dennoch ist es mir ein Rätsel, wie man von

- \frac{3}{x} = - \frac{3}{4} x + 3

auf

\frac{1}{x} = \frac{1}{4} x - 1

kommt und anschließend auf

4 = x^{2} - 4 x

wenn mir das noch jemand beantwortet wäre es genial! Obwohl es offensichtlich einfacher zu lösen geht ;-)

Stephan4

06:45 Uhr, 17.06.2014

So geht's ganz einfach:

- \frac{3}{x} = - \frac{3}{4} x + 3 | \cdot \frac{1}{- 3}

\frac{1}{x} = \frac{1}{4} x - 1 | \cdot 4 x

4 = x^{2} - 4 x | - 4

Und weiter:

0 = x^{2} - 4 x - 4

x_{1,2} = \frac{4}{2} \pm \sqrt{\frac{16}{4} + 4} = 2 \pm \sqrt{8} = 2 (1 \pm \sqrt{2})

x_{1} = 4,828

x_{2} = - 0,828

Alles klar?

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12:28 Uhr, 17.06.2014

Ok, alles verstanden. Danke nochmal!

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