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Zeigen Sie, dass sin und cos in x = 0 stetig sind.

Universität / Fachhochschule

Stetigkeit

Tags: Exponentialfunktion, Kosinus, Restgliedabschätzung, Sinus, Stetigkeit

alligator27x aktiv_icon

16:18 Uhr, 18.12.2023

Siehe Bild
(Die "Aussagen aus Aufgabe 1 Blatt 7" sind, dass

sin (x)

und

cos (x)

absolut konvergieren und dass wir diese als Teilfolgen von exp(x) schreiben können.)

Ich verstehe aber nicht wie ich vorgehen soll, vor allem mit diesen restgliedabschätzunngen. Was mache ich mit denen und wie beachte ich die?

Meine gedanken:
Bei

a)

würde ich die definition für stetigkeit anwenden, also "f heißt stetig in a ∈

D,

falls limx→a

= f (a)

. "

und bei

b)

kann ich nutzen dass in der vorlesung gezeigt wurde dass exp(x) stetig in

R

ist und das analog für sin und

cos

zeigen.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Stetigkeit (Mathematischer Grundbegriff)
Kosinus (Mathematischer Grundbegriff)
Trigonometrie (Mathematischer Grundbegriff)
Wichtige trigonometrische Werte
Kosinusfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
Kosinussatz (Mathematischer Grundbegriff)
Additionstheoreme
Rechenregeln Trigonometrie
Sinus (Mathematischer Grundbegriff)
Sinusfunktion (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Allgemeine Exponentialfunktion - Einführung
Allgemeine Exponentialfunktion - Fortgeschritten
Definition von Sinus, Kosinus und Tangens
Sinus und Kosinus für beliebige Winkel

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

calc007

09:28 Uhr, 19.12.2023

Hallo
Dann will ich mich mal probieren...
Die gezeigten Summendarstellungen der

cos -

bzw.

sin -

Funktionen sind doch gerade die gängigen Reihendarstellungen, (na ja, beschränkt um irgend welche Restglieder).

zu

a)

"also

f

heißt stetig in a element DD, falls

lim x \to a =

f(a)"
Sorry, für mein Auge völlig unverständlich.
Sind wir uns einig (?):
Stetigkeit heißt linksseitiger Grenzwert = rechtsseitiger Grenzwert, also:

lim_{x \to a^{-}} f (x) = lim_{x \to a^{+}} f (x)

Falls ja, dann sollte doch gerade dies aus der Reihen- / Summendarstellung überhaupt kein Problem darstellen. Willst du mal?

alligator27x aktiv_icon

09:42 Uhr, 19.12.2023

Hallo,
deine Formel finde ich auch viel besser, aber ich habe es mal mit der oben genannten versucht. Vielleicht kannst du da mal drüber schauen?
Für die

a)

| sin (x) - sin (0) | = | sin (x) - 0 |

≤

r 2 N + 3 (x)

≤

\frac{{| x |}^{2 N + 3}}{2 N + 3}! = 0

\to

also limx→0sin(x)

= sin (0) = 0

| cos (x) - cos (0) | = | cos (x) - 1 |

≤

r 2 N + 2 (x)

≤

\frac{{| x |}^{2 N + 2}}{2 N + 2}! = 0

\to

also limx→0cos(x)

= cos (0) = 1

bei der

b)

dann für ein beliebiges

a :

Für ein bel. a ∈ ℝ

/ {0}

sei (xn)n∈ℕ eine Folge, die gegen a konvergiert.
Dann ist (y)n∈ℕ

:=

- a

eine Nullfolge. Mit (xn) = sin(xn) folgt dann:

|sin(xn)

- sin (a) =

|sin(a+yn)

- sin (a) |

Jetzt Additionstheorem verwenden liefert:

= | cos (y) sin (a) + sin (y) cos (a) - sin (a) |

Da yn eine Nullfolge ist, konvergiert sin(yn) gegen 0 und cos(yn) gegen 1 für

n

→∞.

Also

= | 1 \cdot sin (a) - 0 \cdot cos (a) - sin (a) = | sin (a) - sin (a) = 0

Passt das so?
Liebe Grüße

calc007

09:58 Uhr, 19.12.2023

Wenn ich dich recht verstehe, gehst du in

sin (0) = 0

doch gerade schon davon aus, den Funktionswert schon zu kennen.
Du sollst doch aber dies beweisen,

d . h

. nachweisen, ohne dieses Wissen schon vorweg zu greifen...
Sonst beißt sich die Argumentationskette doch in den Schwanz.

ebenso natürlich beim

cos . .

alligator27x aktiv_icon

10:07 Uhr, 19.12.2023

Da hast du recht.
Aber dann reicht es ja, wenn ich vor dem Beweis einfach

0

in beide Reihen einsetze:
Für

cos (0)

ergibt sich:
∑n=0

{(- 1)}^{0} \frac{0^{0}}{0!} = 1

und für

sin (0)

∑n=0

{(- 1)}^{0} \frac{0^{1}}{0!} = 0

calc007

10:35 Uhr, 19.12.2023

In diesem Formel-Editor schwer zu lesen, aber ich ahne, jetzt passt's.
Ich würde auch sagen, die

a)

war eigentlich nicht schwer, nur schwer zu verstehen, was der Aufgabensteller eigentlich will.
Formal solltest du dir, dem Papier oder dem Leser vielleicht noch klar machen, dass dieser Funktionswert eben zweifellos sowohl für

>

links-seitige Annäherung

>

als auch rechts-seitige Annäherung
gilt.

alligator27x aktiv_icon

10:39 Uhr, 19.12.2023

Alles klar, danke.
Kannst du mir eventuell zeigen, wie das ganze mit dem linksseitigen und rechtsseitigen grenzwert aussehen würde? Ich weiß nicht, wie ich das auf diese weise mit den reihen mache.
LG

calc007

10:58 Uhr, 19.12.2023

Ich würde vielleicht so formulieren:

sin (0) = lim_{x \to 0^{+}} \sum {(- 1)}^{k} \cdot \frac{x^{2 \cdot k}}{(2 \cdot k)!} = \sum {(- 1)}^{k} \cdot \frac{lim_{x \to 0^{+}} x^{2 \cdot k}}{(2 \cdot k)!} = \sum \frac{0}{(2 \cdot k)!} = 0

Das wäre rechts-seitig,
und könnte man natürlich genauso links-seitig für

lim_{x \to 0^{-}}

formulieren,
oder einfach in einem verständlichen Satz.

alligator27x aktiv_icon

11:05 Uhr, 19.12.2023

Ah verstehe. Bezüglich des rechtsseitigen und linksseitigen Grenzwertes hätte ich noch eine Frage. Das hat jetzt nichts mehr mit dem Fall oben zu tun. Ich bräuchte da eventuell auch Hilfe:

Bei einer Aufgabe war zu zeigen:
Sei

f : D

→

R

mit

D

⊆

R

und a ∈ D. Zeigen Sie, dass

f

genau
dann in a stetig ist, wenn limx↘a

f (x) =

limx↗a

f (x) = f (a)

gilt.

Da sollen wir dieses Lemma verwenden:

Lemma. Sei

f : D

→

R

eine reelle Funktion und I ⊆

D

ein offenes Intervall. Ist

g : R

→

R

eine stetige Funktion, die auf I mit

f

übereinstimmt (also

f (x) = g (x)

für alle

x

∈ I
erfüllt), so ist

f

auf I stetig.

Hast du da eine Idee?
LG

calc007

11:14 Uhr, 19.12.2023

Deine Zusatzaufgabe

11 : 05 h

sieht für mich gerade nach der Definition der Stetigkeit aus,
bemerkenswerterweise fast so wie ich oben.
Und - wie will man eine Definition beweisen???

Ich fürchte, da sind bessere Theoretiker gefragt, als ich. Da geht's einfach um Verständnis und klare Festlegungen. Vielleicht findest du da noch bessere Ratgeber...

alligator27x aktiv_icon

11:54 Uhr, 19.12.2023

Alles klar, trotzdem danke noch mal.
LG

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