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e-funktion-Textaufgabe

Schüler

Tags: Ableitung, e-Funktion

natalia aktiv_icon

21:30 Uhr, 16.02.2013

Hallo,

es geht um ne Aufgabe, die schonmal im Forum gestellt wurde..Leider wurde dort nicht weitergerechnet.

Nach einem Brand in einer Chemiefabrik steigt die Konzentration von perfluorienten Tensiden ( PFT) in einem nahe gelegenen See deutlich an. Durch den Zu- und Ablauf von Wasser verringert sich die PFT-Konzentration im See wieder. Die PFT-Konzentration im See kann in den ersten Wochen mithilfe der Funktion

k (x) = 250 x \cdot e^{- 0,5 x} + 20

modelliert werden

(x :

Anzahl der Wochen nach dem Unfall;

k :

Konzentration in ng/l)

a)

Berechnen Sie den Zeitpunkt, zu dem die PFT-Konzentration am größten ist. Wie hoch ist der höchste Wert der PFT-Konzentration?

b)

Berechnen Sie den Zeitpunkt, zu dem die PFT-Konzentration am stärksten abnimmt.

c)

Welche PFT-Konzentration wird sich in dem Modell auf lange Sicht einstellen?

bei

a)

habe ich k´(x)=e^-0,5x*(250-125x) raus, k´(x)=0 ergibt

x = - 2

hier muss ich

k'' (x)

berechnen und dies ungleich 0 setzen.

Ich komme aber mit der 2.Ableitung nicht weiter:

k'' (x) = - 0,5 e^{- 0,5 x} \cdot 250 - 125 x + e^{- 0,5 x} \cdot - 125

bei b)hier braucht man die 3.ableitung, da ich aber die 2.abl. nicht hab, komme ich leider nicht weiter

Bitte um Eure Hilfe

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Hierzu passend bei OnlineMathe:
e-Funktion (Mathematischer Grundbegriff)
Ableitung (Mathematischer Grundbegriff)
Differenzenquotient (Mathematischer Grundbegriff)
Differenzierbarkeit (Mathematischer Grundbegriff)
Ableitung einer Funktion an einer Stelle (Mathematischer Grundbegriff)
Ableitungsfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
Ableitungsregeln (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Ableiten mit der h-Methode
Ableitungsregeln für Polynomfunktionen
Extrema / Terrassenpunkte
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Ma-Ma aktiv_icon

21:56 Uhr, 16.02.2013

Du meist sicher

k (x) = 250 x \cdot e^{- 0,5 x}

Das hoch in Klammern schreiben

(- 0,5 x)

pleindespoir aktiv_icon

21:59 Uhr, 16.02.2013

k (x) = 250 x \cdot e^{- 0, 5 x} + 20

k ʹ (x) = 250 \cdot e^{- 0, 5 x} - 250 x \cdot 0, 5 \cdot e^{- 0, 5 x}

k ʹ (x) = (250 - 125 x) \cdot e^{- 0, 5 x}

u = (250 - 125 x)

u ʹ = 125

v = e^{- 0, 5 x}

v ʹ = 0, 5 \cdot e^{- 0, 5 x}

k ʺ (x) = u ʹ v + u v ʹ

k ʺ (x) = 125 \cdot e^{- 0, 5 x} + (250 - 125 x) \cdot 0, 5 \cdot e^{- 0, 5 x}

natalia aktiv_icon

22:01 Uhr, 16.02.2013

Jaa, sorry, habs verbessert

Ma-Ma aktiv_icon

22:03 Uhr, 16.02.2013

v' . .

. ist da ein Minus entfleucht ?

natalia aktiv_icon

22:08 Uhr, 16.02.2013

Danke, aber müsste nicht

v' = - 0,5 \cdot e^{- 0,5 x}

lauten? Wie setze ich denn die Ableitung ungleich 0 bzw.k''<0?, um den hochpunkt zu bestimmen bzw. y?

Ma-Ma aktiv_icon

22:12 Uhr, 16.02.2013

JA, Dein

v'

ist richtig.

Schreibe mal die 2.Ableitung hier auf. (bitte etwas zusammenfassen.)
Wenn diese richtig, dann weitermachen.

Steilster/geringster Anstieg am Wendepunkt.

k'' = 0

setzen.

natalia aktiv_icon

22:25 Uhr, 16.02.2013

k'' (x) = 125 e^{- 0,5 x} + (250 - 125 x) \cdot - 0,5 \cdot e^{- 0,5 x}

ich kanns nicht zusammenfassen, habe nur

e

ausgeklammert

= e^{- 0,5 x} \cdot 125 + (250 - 125 x) \cdot - 0,5 e^{- 0,5 x}

Ma-Ma aktiv_icon

22:35 Uhr, 16.02.2013

Du hast geschummelt

. .

. nicht alles selber gerechnet !
Bei

u'

hatte sich der Fehlerteufel auch ein Minus geklaut !

Schaue bitte nochmal nach.

Wir hätten dann

k'' (x) = - 125 \cdot e^{- 0,5 x} + (250 - 125 x) \cdot (- 0,5) \cdot e^{- 0,5 x}

k'' (x) = e^{- 0,5 x} \cdot [- 125 + (250 - 125 x) \cdot (- 0,5)]

In der eckigen Klammer geht noch was

. .

pleindespoir aktiv_icon

22:41 Uhr, 16.02.2013

"v'... ist da ein Minus entfleucht ?"

ja!

ich habs aber wieder eingefangen und hier ist es nun : -

Ma-Ma aktiv_icon

22:43 Uhr, 16.02.2013

Das geklautet Minus bei

u'

haben wir dem Fehlerteufel auch schon wieder abgejagt *schmunzel*

natalia aktiv_icon

22:44 Uhr, 16.02.2013

Ich habs übersehen..

hab folgendes:

e^{- 0,5 x} (- 125 + (250 - 125 x) \cdot (- 0,5))

= e^{- 0,5 x} - 125 + (- 125 + 62,5 x)

= e^{- 0,5 x} (- 250 + 62,5 x)

richtig?

Ma-Ma aktiv_icon

22:46 Uhr, 16.02.2013

Wenn Du die richtigen Klammern setzt und noch ein

x

herbeizauberst, ist es okay.

natalia aktiv_icon

22:51 Uhr, 16.02.2013

habs oben verbessert, denke so ist es richtig:

e^{- 0,5 x} (- 250 + 62,5 x)

das 0 setzen

x = 4

bzw.

y = 4

ist das richtig ? dann hätte ich HP(-2/4) wie würde denn der Antwortsatz lauten?

Ma-Ma aktiv_icon

23:02 Uhr, 16.02.2013

DA pleindespoir sich wohl gerade ein Bier holt

. .

x = 4

hab ich auch raus.

- - - - - - - - - - - - -

WAS willst Du jetzt mit dem HP(-2|4) ????
Wir reden bei

k''

vom Wendepunkt...

W (4 | y)

natalia aktiv_icon

23:09 Uhr, 16.02.2013

Mein Lehrer hat gesagt, dass wir bei

a)

den HP(x/y) berechnen sollen, indem wir

k' (x) = 0

und k''ungleich 0 bzw

k'' < 0

setzen

Also denke ich, dass die antwort wie folgt ist: bei

a) x = - 2 \to

Zeitpunkt und

y = 4 \to

höchste Wert der Konzentration

Erst bei

b)

soll man den Wendepunkt berechnen, also

k' = 0

notw. B. und

k'''

ungleich 0

hierbei hätte ich jetzt aber auch wieder Probleme bei der 3.ableitung

natalia aktiv_icon

23:09 Uhr, 16.02.2013

Mein Lehrer hat gesagt, dass wir bei

a)

den HP(x/y) berechnen sollen, indem wir

k' (x) = 0

und k''ungleich 0 bzw

k'' < 0

setzen

Also denke ich, dass die antwort wie folgt ist: bei

a) x = - 2 \to

Zeitpunkt und

y = 4 \to

höchste Wert der Konzentration

Erst bei

b)

soll man den Wendepunkt berechnen, also

k' = 0

notw. B. und

k'''

ungleich 0

hierbei hätte ich jetzt aber auch wieder Probleme bei der 3.ableitung:

k''' (x) = - 0,5 e^{- 0,5 x} \cdot (- 250 + 62,5 x) + e^{- 0,5 x} \cdot 62,5

weiter komme ich nicht

Ma-Ma aktiv_icon

23:21 Uhr, 16.02.2013

Dein Lehrer hat das gewiss etwas anders gesagt. (Ich weiss aber, was Du meinst.)

- - - - - - - - - -

a)

Notwendige und hinreichende Bedingungen für einen Extremwert

\to

siehe Formelsammlung !

Hab mal fix den Extremwert nachgerechnet .. und nein, der liegt NICHT bei

x = - 2

- - - - - - - - - - - -

Nochmal aufsetzen bei

a)

EXTREMWERT

Notwendige Bedingung:

f' (x) ... .

.
Hinreichende Bedingung:

f'' (x) ...

.

Siehe bitte Formelsammlung !

natalia aktiv_icon

11:17 Uhr, 17.02.2013

Also ich hab

a)

nochmal ausgerechnet: notw. B.

k' (x) = 0 \to x = 2, e^{- 0,5 x}

ungleich

0,

hinr.B.:

k'' (2) = e^{- 0,5 \cdot 2} = 0,3678 . ., k'' (x) = 0 \to x = 4

HP(4/0,3678) ist das richtig??

bei

c)

muss ich das Verhalten im unendlichen berechnen, also

lim f (x) x \to

+unendlich, aber ich weis nicht genau, wie ich das berechnen soll

Ma-Ma aktiv_icon

21:29 Uhr, 17.02.2013

Hallo Natalia,

zu

a)

JA Dein

x

ist jetzt richtig ausgerechnet.

Extremwert:

1)

Notwendige Bedingung:

f' (x) = 0

2)

Hinreichende Bedingung:

f'' (x)

ungleich 0 (prüfen)
Wenn

f'' (x) < 0,

dann Maximum.

Du hast

x = 2

f'' (x) = e^{- 0,5 x} \cdot (62,5 x - 250)

f'' (x = 2) = e^{- 0,5 \cdot 2} \cdot (62,5 \cdot 2 - 250)

f'' (x = 2) = e^{- 1} \cdot (125 - 250)

f'' (x = 2) = - 45,98

f'' (x = 2) < 0,

daraus folgt, bei

x = 2

liegt Maximum (Hochpunkt) vor.

Hochpunkt berechnen

\to

für PUNKTBERECHNUNG immer die Ausgangsfunktion nutzen.

f (x = 2) = 250 x \cdot e^{- 0,5 x} + 20

f (x = 2) = 250 \cdot 2 \cdot e^{- 0,5 \cdot 2} + 20

y =

?

Nun hast Du Deinen Hochpunkt. HP(2|y)

Ma-Ma aktiv_icon

21:34 Uhr, 17.02.2013

Wendepunkt:
Notwendige Bedingung:

f'' (x) = 0

x = 4

hast Du auch richtig berechnet.

Jetzt müsstest Du prüfen, ob bei

x = 4

1)

ein Wendepunkt vorliegt

f''' (x = 4)

ungleich 0
und

2)

ob hier wirklich eine MAX. STEIGUNG vorliegt.

Ich würde dieses Thema erstmal überspringen und bei

c)

weitermachen.
Was meinst Du ?

natalia aktiv_icon

21:37 Uhr, 17.02.2013

Ist OK.

wie gesagt bei

c)

muss man irgendwie mit limes rechnen, ich habe kein Plan

Ma-Ma aktiv_icon

21:39 Uhr, 17.02.2013

Du hast schon mal mit limes gerechnet und auch schon von l'Hospital gehört ?

natalia aktiv_icon

21:40 Uhr, 17.02.2013

mit limes ja, mit l´hospital nicht

Ma-Ma aktiv_icon

21:47 Uhr, 17.02.2013

Wenn Du l'Hospital noch nicht hattest, dann hilft nur eine Wertetabelle mit Skizze.
Also Wertetabelle mit

x = 0, x = 2, x = 4, x = 10, x = 100, x = 1000 ... .

. usw.

...

. , y-Werte dazu ausrechnen !

Immer größere Werte einsetzen, der y-Wert (Konzentration) geht gegen

20

.

(Kannst Dir den Graphen natürlich auch mit einem Programm zeichnen lassen.)

- - - - - - - - - -

Während Du jetzt diese Wertetabelle erstellst, schreibe ich ein paar Zeilen zur rechnerischen Bestimmung.

- - - - - - - - - - - -

PS: Mich interessiert noch, was hast Du für

H (2 | y)

und

W (4 | y)

raus ?

natalia aktiv_icon

21:49 Uhr, 17.02.2013

Für

H : y = 203,93 .

. ?

y

für

W

hab ich nicht

Ma-Ma aktiv_icon

21:53 Uhr, 17.02.2013

Jepp, mein Hochpunkt ist auch

H (2 | 203,94),

gerundet

H (2 | 204)

Ma-Ma aktiv_icon

22:16 Uhr, 17.02.2013

Grenzwertberechnung:

x \to \infty

Für

x

einfach

\infty

einsetzen:

f (x) = 250 \cdot x \cdot e^{- 0,5 \cdot x} + 20

f (x) = \frac{250 x}{e^{0,5 x}} + 20

lim_{x \to \infty} \frac{250 \cdot \infty}{e^{0,5 \cdot \infty}} + 20 = \frac{\infty}{\infty} + 20

WICHTIG:

\frac{\infty}{\infty}

ist nicht definiert, somit ist dieser Grenzwert SO nicht lösbar.

In diesem Fall nutzt man l'Hospital:

\to

erste Ableitungen einsetzen.

g (x) = 250 \cdot x ... ... ... . .

g' (x) = 250

h (x) = e^{0,5 x} . .

... ... .

h' (x) = 0,5 \cdot e^{0,5 x}

lim_{x \to \infty} \frac{g' (x)}{h' (x)} + 20

lim_{x \to \infty} \frac{250}{0,5 \cdot e^{0,5 x}} + 20 = \frac{250}{\infty} + 20 = 0 + 20 = 20

Zusatzhinweis zu

\frac{250}{\infty} :

Wenn der Nenner "riesengroß" wird, so geht der Term gegen 0.

- - - - - - - - - -

Nachtrag: l'Hospital findest Du auch in Deiner Formelsammlung unter dem Thema "Grenzwerte"

Ma-Ma aktiv_icon

22:37 Uhr, 17.02.2013

Du hattest mir geschrieben, dass Du den y-Wert bei

x = 4

nicht hinbekommen hast. Also gemeinsam:

Bei y-Wert eines PUNKTES immer Ausgangsfunktion benutzen !

k (x) = 250 \cdot x \cdot e^{- 0,5 x} + 20

k (x = 4) = 250 \cdot 4 \cdot e^{- 0,5 \cdot 4} + 20

k (x = 4) = 1000 \cdot e^{- 2} + 20

k (x = 4) = (\frac{1000}{e^{2}}) + 20

y =

natalia aktiv_icon

22:41 Uhr, 17.02.2013

y = 155,33

Ma-Ma aktiv_icon

22:45 Uhr, 17.02.2013

Hab

y = 155,34

. also rund

155,3

.
Wendepunkt ist also

W (4 | 155,3) ... .

. (obwohl wir das nich rechnerisch bewiesen haben).

Hast Du schon Deine Wertetabelle und die Skizze fertig ?

natalia aktiv_icon

22:49 Uhr, 17.02.2013

ich danke dir vielmals... ich bin grad am Zeichen.. habe aber kurz noch ne Frage zu

c)

wieso teilst du am Anfang

k (x)

durch

e^{- 0,5 x}

bzw.

\frac{250 x}{e^{- 0,5 x}} + 20

und wieso verschwindet dann im nächsten Schritt das Minus vor

0,5

Ma-Ma aktiv_icon

22:58 Uhr, 17.02.2013

Potenzgestz:

a^{- n} = \frac{1}{a^{n}}

e^{- 0,5 x} = \frac{1}{e^{0,5 x}}

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

0,5 \cdot e^{0,5 \cdot \infty} = 0,5 \cdot e^{\infty} = \infty

Ich kann

\infty

mit einem beliebigen Faktor multiplizieren, es wird immer wieder

\infty

3 \cdot \infty = \infty

0,5 \cdot \infty = \infty

x^{\infty} = \infty

e^{\infty} = \infty

- - - - - - - - - - - - - - - - -

War das Deine Frage oder meintest Du etwas Anderes ?

natalia aktiv_icon

22:59 Uhr, 17.02.2013

Ach ja, das Potenzgesetz. Das war meine Frage gewesen:-) Vielen vielen Dank! auch für deine Geduld:-)

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