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gebrochenrationale Funktionen

Schüler Gymnasium, 11. Klassenstufe

Tags: extremstelle, Ganzrationale Funktionen, Gebrochen-rationale Funktionen, Nullstellen, Wendepunkt

SwEeTy007 aktiv_icon

19:09 Uhr, 29.04.2010

Bla Bla gebrochenrationale Funktionen bla bla
Kann ich den Eintrag irgendwie löschen?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Nullstellen (Mathematischer Grundbegriff)
Vielfachheit einer Nullstelle (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Allgemeine Exponentialfunktion - Fortgeschritten
Allgemeine Sinusfunktion
Krümmungsverhalten
Nullstellen
Nullstellen bestimmen
Polynomdivision

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michael777 aktiv_icon

19:15 Uhr, 29.04.2010

der Hauptunterschied zu ganzrationalen Funktionen ist der, dass

x

auch als Nenner oder in Nennern vorkommen kann

gebrochenrationale Funktionen bestehen aus zwei ganzrationalen Funktionen, die durcheinander dividiert werden, also Zähler und Nenner sind ganzrational, der Bruch gebrochenrational

z . B

f (x) = \frac{1}{x}

g (x) = \frac{x^{2} + 2 x - 1}{x^{3} - x}

bei gebrochenrationalen Funktionen muss die Definitionsmenge bestimmt werden:
kein Nenner, in dem

x

vorkommt darf null werden

gebrochen-rationale Funktionen haben Asymptoten:

x-Achse als Asymptote wenn Zählergrad

<

Nennergrad

z . B

. bei

\frac{x - 1}{x^{2} - 5}

waagrechte Asymptote

y = a

wenn Zählergrad = Nennergrad

z . B

. bei

\frac{a x^{2} - 2}{x^{2} - x}

senkrechte Asymptoten bei Polstellen (dort wo Nenner null werden und es Definitionslücken gibt

z . B

\frac{1}{x - 1}

hat bei

x = 1

eine senkrechte Asymptote

malla aktiv_icon

19:33 Uhr, 29.04.2010

Hi,

eine gebrochen rationale Funktion ist der Quotient zweier ganz rationaler Funktionen.

f (x) = \frac{x^{2} - 1}{x^{3} - 1}

Der Definitionsbereich einer gebrochen rationalen Funktion ist

ℝ \ {x_{1}, x_{2}, ..., x_{n}}

Das heißt es gibt x-Werte, die nicht zum Def.-bereich gehören . Diese werte sind die Nullstellen des Nennerpolynoms. Wenn das nämlich gleich null gesetzt wird, entsteht eine Division und die ist mathematisch nicht definiert. Wenn also der Nenner null wird, gibt es keine y-Werte. Das nennt man Definitionslücken. Also sind die Nullstellen die Definitionslücken der Funktion

f (x)

. Das ist schonmal eine wichtige Eigenschaft und ein Unterschied zu einer ganz rationalen Funktion.

Außerdem sind die Nullstellen der Zählerfunktion gleich der Nullstellen der gebrochen rationalen Funktion.

Unterschieden wird jetzt noch zwischen echt und unecht gebrochen. Dazu betrachtest du die Grade (Exponenten) von Zähler und Nenner.

f (x) = \frac{x^{n}}{x^{m}}

.

ist

n < m

heißt sie echt gebrochen, ist

n \geq m

heißt sie unecht gebrochen.

Das ist alles was mir jetzt erstmal einfällt. hoffe es reicht.

gruß malla

SwEeTy007 aktiv_icon

12:43 Uhr, 02.05.2010

Das heißt es gibt x-Werte, die nicht zum Def.-bereich gehören . Diese werte sind die Nullstellen des Nennerpolynoms. Wenn das nämlich gleich null gesetzt wird, entsteht eine Division und die ist mathematisch nicht definiert. Wenn also der Nenner null wird, gibt es keine y-Werte.

Was bedeutet polynom?
und wenn das nennerpolynom gleich null gesetzt wird dann entsteht eine Division die mathematisch nicht definiert ist?
wieso gibt es dann keien y-Werte?

gibt es noch weitere Eigenschaften oder Unterschiede? Fällt noch wem was ein?

Shipwater aktiv_icon

12:47 Uhr, 02.05.2010

de.wikipedia.org/wiki/Polynom

Und ja wenn das Nennerpolynom Null wird, dann würde ja eine Division durch Null entstehen, aber man darf nicht durch Null teilen. Deswegen schließt man dann diese

x,

die den Nenner zu Null machen würden aus der Definitionsmenge aus. Einen y-Wert können diese Stellen also dementsprechend auch nicht aufweisen.

Ansonten könnte man noch sagen:
Zählerpolynom wird Null und Nennerpolynom wird nicht Null

\to

Nullstelle
Zählerpolynom wird nicht Null und Nennerpolynom wird Null

\to

Pol
Zählerpolynom wird Null und Nennerpolynom wird Null

\to

(hebbare) Lücke

\Rightarrow

de.wikipedia.org/wiki/Stetig_behebbare_Definitionsl%C3%BCcke

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