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Ableiten über die Umkehrfunktion

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Gewöhnliche Differentialgleichungen

Tags: Ableitung, Umkehrfunktion

Eumels aktiv_icon

19:54 Uhr, 19.06.2012

Hey liebe Matheforummitglieder,

dies ist meiner erster Beitrag in einem solchen Forum und deshalb bitte ich um Rücksicht, wenn ich meinen Beitrag vielleicht der falschen Kategorie zugeordnet habe;-)

Meine Frage lautet:

Bestimmen Sie über die Ableitung der Umkehrfunktion die Ableitung
von:

y (x) =

ln(Arsinhx)

Welchen Definitions- und Wertebereich hat

y (x)

?

Mein Ansatz ist folgender:

f (g (x)) = ln (g (x))

g (x) =

Arsinhx

g

(x) = \frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{0,5}}

- \to (f (g (x)))' = f (g (x)) \cdot g' (x)

- \to (f (g (x)))' = (1 \cdot g' (x)) : (1 + {(g (x))}^{2})

- \to (f (g (x)))' =

[

(1+(Arsinhx)^2]

\cdot \frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{0,5}}

??

Mein Problem ist halt, dass ich eigentlich keine Probleme habe beim Ableiten über die Umkehrfunktion, wenn die Funktion nicht aus einem Produkt besteht

z . B

. arctanh(x). Hier bin ich voll verwirrt, wegen dem

ln

davor. Die Formel, die ich in meinem Ansatz benutze habe ich aus einem Mathevideo auf oberprima gefunden, da wird sie aber nicht weiter erklärt:(Habe auch so eine Funktion noch nie über die Umkehrfunktion abgeleitet bzw. habe nirgens was dazu gefunden:/

Ich wäre euch sehr verbunden, falls jemand mir weiterhelfen könnnte;-)

Beste Grüße, Eumels

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
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Differenzenquotient (Mathematischer Grundbegriff)
Differenzierbarkeit (Mathematischer Grundbegriff)
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Mathe-Steve aktiv_icon

08:14 Uhr, 20.06.2012

Hallo,
zunächst einmal machst Du gar nicht was verlangt ist, nämlich über die Umkehrfunktion abzuleiten.
Zum anderen verwechselst Du den Areasinus arsinh mit dem Arcussinus arcsin. Das ist etwas völlig anderes.
Die Umkehrregel der Differentialrechnung lautet

f^{- 1'} (x) = \frac{1}{f' (f^{- 1} (x))}

.
Beispiel

y = ln x

bzw.

f^{- 1} (x) = ln x

Die Umkehrfunktin erhält man durch Vertauschen von

x

und

y

und anschließendem Auflösen nach

y

x = ln y

y = e^{x}

f (x) = e^{x}

f^{'} (x) = e^{x}

f^{- 1'} (x) = \frac{1}{e^{ln x}} = \frac{1}{x}

Somit gilt

{ln}^{'} (x) = \frac{1}{x}

.
Also stelle

y = ln

arsinh

x

um zu

y = {sinh e}^{x}

y^{'} = {cosh e}^{x} \cdot e^{x}

Das setzt Du in die Formel ein und stellst noch etwas nach den Regeln der Hyperbelfunktionen um.

Gruß
Stephan

Eumels aktiv_icon

09:25 Uhr, 20.06.2012

Hallo Stephan,

zunächst einmal vielen Dank für Deine umfangreiche und schnelle Antwort auf meine Frage.

Mein Gedanke war das auch folgende Ableitung der Umkehrfunktion zu bilden:

y (x) =

ln(Arsinhx)

= y

- \to x (y) =

e^(sinhy)

- \to x (y)' =

coshy

\cdot

e^(sinhy)

- \to {f (x)}^{- 1} = 1

[

cosh(ln(Arsinhx)

\cdot

e^(sinh(ln(Arsinhx))]

- \to {f (x)}^{- 1} =

cosh(ln(Arsinhx)*

x

- \to

??

Nun bin ich mal deiner Antwort gefolgt und habe es versucht:

y (x) =

ln(Arsinhx)

= y

- \to y (x) =

sinhx

\cdot e^{x}

- \to x (y) =

sinhy

\cdot e^{y}

- \to x (y)' = e^{2 y}

(Ist doch die Ableiung und nicht coshx

\cdot e^{x} \cdot e^{x}

???)

- \to {f (x)}^{- 1} = \frac{1}{e^{2 y}}

- \to {f (x)}^{- 1} =

1/(e^(2(ln(Arsinhx)))

- \to {f (x)}^{- 1} =

1/(e^(2(ln(Arsinhx)))

- \to {f (x)}^{- 1} =

(1/(2*(Arsinhx)))

- \to {f (x)}^{- 1} = (\frac{1}{2}) \cdot

1/(Arsinhx)

- \to {f (x)}^{- 1} = (\frac{1}{2}) \cdot \frac{1}{ln (x + \sqrt{x^{2} + 1})}

- \to

??

Siehst du mein Problem?
Die Umkehrfunktion habe ich ja verstanden, also

1)

Umkehrfkt. bilden

2) x

und

y

vertauschen

3)

Regel der Differentialrechnung anwenden

4) y

einsetzten

5)

vereinfachen, FERTIG!

Doch irgendwie klappt das bei mir nicht bei der Aufgabe und ich verzweifel einfach nur noch dran, sitze hier insgesamt echt schon ungelogen bestimmt schon 6 Stunden dran mit Grübeln, anwenden der Formeln, umstellen, im Internet recherchieren etc.

Ich wäre dir sehr dankbar, wenn du mir vllt nun weiterhelfen könntest. Würde dich auch sehr gut bewerten, falls es einen solchen Modus hier im Forum gibt;-)

Gruß

Eumels

pwmeyer aktiv_icon

11:40 Uhr, 20.06.2012

Hallo,

vielleicht helfen ja ein paar Klammern:

y = ln [

Arsinh

(x)] \Leftrightarrow e^{y}

=Arsinh(x)

\Leftrightarrow sinh (e^{y}) = x

Also lautet die Umkehrfunktion

h (x) = sinh (e^{x})

und ihre Ableitung:

h' (x) = cosh (e^{x}) \cdot e^{x}

Gruß pwm

Mathe-Steve aktiv_icon

15:26 Uhr, 20.06.2012

Erst mal Umkehrfunktion von

y = ln (

arsinh

x)

x = ln (

arsinh

y)

e^{x} =

arsinh

y

sinh (e^{x}) = y

Beachte außerdem

{(cosh (x))}^{2} - {(sinh (x))}^{2} = 1

f (x) = sinh (e^{x})

f^{'} (x) = cosh (e^{x}) \cdot e^{x}

f^{- 1'} (x) = \frac{1}{cosh (a r s i n h (x)) \cdot e^{ln (a r s i n h (x))}}

f^{- 1'} (x) = \frac{1}{cosh (a r s i n h (x)) \cdot a r s i n h (x)}

f^{- 1'} (x) = \frac{1}{\sqrt{1 + {(sinh (a r s i n h (x)))}^{2}} \cdot a r s i n h (x)}

f^{- 1'} (x) = \frac{1}{\sqrt{1 + x^{2}} \cdot a r s i n h (x)}

Eumels aktiv_icon

18:43 Uhr, 20.06.2012

Hey,

Mathe-Steve und pwmeyer, vielen vielen Dank für eure Hilfe. Das Forum ist echt klasse. Nach gefühlten

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Stunden Grübelarbeit an einer Aufgabe, habe ich es jetzt endlich verstanden dank euch:-) und dem Forum hier. Beste Antworten, TOP!

Beste Grüße,

Eumels:-)

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