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Ableitung e-Funktion mit Parameter

Schüler

Tags: Ableitung, e-Funktion, Parameter

informatikstudent_123 aktiv_icon

11:40 Uhr, 11.03.2015

Hallo, mein Vor-Abitur lief leider nicht so toll wie erwartet, die Aufgaben waren aber auch deutlich schwerer, als bei anderen Übungsklausuren. Es geht in der ersten großen Aufgabe um den Graphen:

f_{a} (x) = (\frac{1}{a}) x \cdot e^{a - x}

Es soll gezeigt werden, dass folgende Ableitung richtig ist:

f_{a}' (x) = (\frac{1}{a}) x \cdot e^{a - x} \cdot (1 - x),

doch das schaffe ich nicht.

Hier geht es um ein Produkt und somit muss ich die Produktregel anwenden?

\Rightarrow f' (x) = u' \cdot v + u \cdot v'

u : (\frac{1}{a}) x \Rightarrow u' : \frac{1}{a}

v : e^{a - x} \Rightarrow v' : - e^{a - x}

Ich komme nun auf

f_{a}' (x) = (\frac{1}{a}) \cdot e^{a - x} (- 1) + (\frac{1}{a}) (e^{a} - x)

Wie kann ich das nun umformen um auf die vorgegebene Ableitung zu kommen?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
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Ableitung (Mathematischer Grundbegriff)
Differenzenquotient (Mathematischer Grundbegriff)
Differenzierbarkeit (Mathematischer Grundbegriff)
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Ableitungsregeln (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

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Eva88 aktiv_icon

11:46 Uhr, 11.03.2015

u' = 1

Eva88 aktiv_icon

11:47 Uhr, 11.03.2015

Nee,

\frac{1}{a}

ist richtig.

informatikstudent_123 aktiv_icon

11:48 Uhr, 11.03.2015

Meine Ableitung ist richtig bzw. liefert korrekte Ergebnisse, nur die Form ist nicht korrekt.

Eva88 aktiv_icon

11:51 Uhr, 11.03.2015

(\frac{1}{a} \cdot e^{a - x}) + (\frac{x}{a} \cdot (- 1) \cdot e^{a - x})

(\frac{1}{a} \cdot e^{a - x}) + (- \frac{x}{a} \cdot e^{a - x})

e^{a - x} (\frac{1}{a} - \frac{x}{a})

ledum aktiv_icon

12:01 Uhr, 11.03.2015

Hallo
in deiner Ableitung fehlt ein

x,

aber was gezeigt werden soll ist auch falsch, da ist das

x

am Anfang zu viel.
vielleicht kontrollierst du nochmal die posts und hast dich nur vertippt? Eva hat alles richtig, es sieht, wenn du noch

\frac{1}{a}

ausklammerst bis auf das

x

so aus wie das was du zeigen willst.
Gruß ledum

informatikstudent_123 aktiv_icon

12:51 Uhr, 11.03.2015

Stimmt, ich habe vergessen ein

x

mit zu schreiben hier im Forum. Die richtige Ableitung nach Produktregel lautet:

f_{a}' (x) = - (\frac{1}{a}) x \cdot e^{a - x} + (\frac{1}{a}) \cdot e^{a - x}

Jemand aus dem Jahrgang meinte ich soll irgendwie die

\frac{1}{a} [e^{a - x}]

ausklammern und ich käme dann auf das gesuchte. Doch wie kann ich hier was ausklammern, es handelt sich schließlich um eine Summe und kein Produkt?!

PS: Ja SORRY DU HAST RECHT. Habe die "finale Ableitung" falsch aufgeschrieben, das

x

ist da am Anfang zu viel.

So muss die finale Ableitung ausschauen:

f_{a}' (x) = (\frac{1}{a}) e^{a - x} (1 - x)

Eva88 aktiv_icon

14:03 Uhr, 11.03.2015

Dann noch

\frac{1}{a}

aussklammern:

e^{a - x} \cdot \frac{1}{a} (1 - x)

informatikstudent_123 aktiv_icon

14:15 Uhr, 11.03.2015

Ich verstehe diesen Schritt nicht. Wie erkenne ich, dass ich da was ausklammern kann und wie gehe ich vor? Für gewöhnlich kann man innerhalb eines Produktes ausklammern, aber bei einer Summe habe ich da noch so meine Problemchen..

Eva88 aktiv_icon

14:21 Uhr, 11.03.2015

(a \cdot b) + (a \cdot c) = a (b + c)

Das steht immer bei einer Exponentialfunktion wobei a der e-Teil ist.

anonymous

18:06 Uhr, 11.03.2015

Hoi,

die e-Funktion bleibt beim Ableiten ja erhalten, ergo kannst Du sie immer(!) ausklammern, wenn Du Produktregel benutzt hast, etwa:

f (x) = x^{2} \cdot e^{x}

f' (x) = 2 x \cdot e^{x} + x^{2} \cdot e^{x} = e^{x} \cdot (2 x + x^{2})

Zum Ausklammern halte einfach die e-Funktion zu und schreibe den Rest in die AusklammerKlammer^^, bei Dir also:

f_{a}' (x) = - \frac{1}{a} x \cdot e^{a - x} + \frac{1}{a} \cdot e^{a - x}

= e^{a - x} \cdot (- \frac{1}{a} x + \frac{1}{a})

wer will, klammert noch das a-tel aus, zu

f' (x) = \frac{1}{a} e^{a - x} (- x + 1)

allerdings hätte man das dann auch vor der Produktregel machen können, nämlich

f (x) = \frac{1}{a} \cdot [x \cdot e^{a - x}]

f' (x) = \frac{1}{a} [1 \cdot e^{a - x} + x \cdot e^{a - x} \cdot (- 1)]

(konstante Faktoren bleiben stehen)

wenn Du jetzt in der eckigen Klammer wie immer die e-Funkton ausklammerst, hastes wieder :-).

Grüße, IP

PS: In deinem ersten Post ist in der Ableitung ein

x

zuviel..

rundblick aktiv_icon

19:09 Uhr, 11.03.2015

f_{a} (x) = \frac{1}{a} \cdot x \cdot e^{a - x}

kleiner Vorschlag: es wird alles etwas übersichtlicher,
wenn konstante Parameter vorneweg notiert werden

es ist

\to \frac{1}{a} \cdot x \cdot e^{a - x} = \frac{1}{a} \cdot x \cdot e^{a} \cdot e^{- x}

also

f_{a} (x) = [\frac{e^{a}}{a}] \cdot x \cdot e^{- x}

also kann mit dem bleibenden konstanten Faktor

c = [\frac{e^{a}}{a}]

jede Ableitung leicht berechnet werden

f (x) = c \cdot x \cdot e^{- x}

f' (x) = c \cdot (1 - x) \cdot e^{- x}

f'' (x) = c \cdot (- 2 + x) \cdot e^{- x}

usw... wer will kann am Schluss ja jeweils das

c

wieder ersetzen

.

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