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Auf-/Ableiten einer e-Funktion (e ^x(quadrat))

Schüler Berufskolleg, 12. Klassenstufe

Tags: Ableitung, Aufleitung, e-Funktion

Chantal- aktiv_icon

20:09 Uhr, 04.03.2012

Hallo ihr Lieben!

Am Mittwoch schreibe ich meine letzte Klausur vor den Fachhochschulreife Prüfungen, und habe hier eine Aufgabe, die ich nicht so ganz verstehe:

F (x) =

geht nicht!

f (x) = e^{\frac{1}{4} x^{2}}

f' (x) = e^{\frac{1}{4} x^{2}} \cdot \frac{1}{2} x

1. Verstehe ich nicht, warum man die Funktion nicht Aufleiten kann und
2. verstehe ich nicht, wie man auf die

\frac{1}{2} x

bei der Ableitung kommt.

Ich hoffe, mir kann einer helfen! :-)
LG Chantal

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Ableitung (Mathematischer Grundbegriff)
Differenzenquotient (Mathematischer Grundbegriff)
Differenzierbarkeit (Mathematischer Grundbegriff)
Ableitung einer Funktion an einer Stelle (Mathematischer Grundbegriff)
Ableitungsfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
Ableitungsregeln (Mathematischer Grundbegriff)
Stammfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
e-Funktion (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Ableiten mit der h-Methode
Ableitungsregeln für Polynomfunktionen
Extrema / Terrassenpunkte
Kettenregel

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Photon aktiv_icon

20:12 Uhr, 04.03.2012

Zur Ableitung: Weißt du denn wie man solche verschachtelte Funktionen ableitet?

Zur "Aufleitung": Man kann diese Funktion tatsächlich nicht integrieren, aber ich kenne auch keinen Beweis dafür. Es ist die Gaußfunktion, von der sind nur einige bestimmte Integrale bekannt: de.wikipedia.org/wiki/Gau%C3%9Ffunktion

edit: Sorry, ich habe übersehen, dass im Exponenten kein Minus steht, damit ist es keine Gaußfunktion. Integrierbar ist sie aber wohl trotzdem nicht.

Chantal- aktiv_icon

22:21 Uhr, 04.03.2012

Ich glaube, mir ist die Lösung nach 'ner kleinen Pause im Fitnesstudio eingefallen.

Meine Lösung:

f (x) = e^{\frac{1}{4} x^{2}}

(im Prinzip den Exponenten nach vorn ziehen)

f' (x) = \frac{1}{4} x^{2} \cdot e^{\frac{1}{4} x^{2}}

(und dann das

\frac{1}{4} x^{2}

nochmal ableiten)

f' (x) = \frac{1}{2} x \cdot e^{\frac{1}{4} x^{2}}

Stimmt das so?
LG

hagman aktiv_icon

23:32 Uhr, 04.03.2012

"F(x) geht nicht"
"Integrierbar ist sie wohl trotzdem nicht"

Das kann man so nicht stehen lassen. Die Funktion ist definitiv integrierbar. Für jedes

x \in ℝ

ist

f

auf

[0, x]

stetig, also existiert das Riemann-Integral

\int_{0}^{x} f (t) d t

und darf gerne als

F (x)

bezeichnet werden. Nach dem Hauptsatz gilt dann auch

F' (x) = f (x)

.
Das einzige, was nicht geht:

F

kann nicht durch elementare Funktionen ausgedrückt werden (also mittels Grundrechenarten, Potenzen, Winkel-, Exponential- und Logarithmusfunktionen in endlicher Verknüpfung angegeben werden). Der Beweis hierfür stammt von Liouville, vgl. auch de.wikipedia.org/wiki/Elementare_Funktion

Photon aktiv_icon

12:44 Uhr, 05.03.2012

Da hast du natürlich völlig recht, hab mich zu flapsig ausgedrückt. :-)

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