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Beweis der Ableitung

Schüler Gymnasium, 12. Klassenstufe

Tags: Ableitung, Beweis, n-te Wurzel

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abiturientin12

abiturientin12 aktiv_icon

17:05 Uhr, 05.10.2010

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Hallo ihr lieben,

meine Hausaufgabe lautet: Beweise, dass die Ableitung von

f (x) = \sqrt[n]{x}

f' (x) = \frac{1}{n} \cdot x^{\frac{1}{n} + 1}

.

Kann mir jemand einen Ansatz liefern? Wäre lieb. Danke

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Ableitung (Mathematischer Grundbegriff)
Differenzenquotient (Mathematischer Grundbegriff)
Differenzierbarkeit (Mathematischer Grundbegriff)
Ableitung einer Funktion an einer Stelle (Mathematischer Grundbegriff)
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Antwort

hagman

hagman aktiv_icon

17:09 Uhr, 05.10.2010

Antworten

Aus

f (x) = \sqrt[n]{x}

folgt

{(f (x))}^{n} = x

.
Wenn man annimmt, dass

f

differenzierbar ist, kann man beide Seiten ableiten, wobei links die Kettenregel zu benutzen ist

Antwort

Leander1

Leander1 aktiv_icon

17:12 Uhr, 05.10.2010

Antworten

$f (x) = \sqrt[n]{x} = {}_{x}{\frac{1}{n}}$

Hilft dir das weiter?

Gruß

abiturientin12

abiturientin12 aktiv_icon

17:16 Uhr, 05.10.2010

Antworten

ja leander1 das weiß ich aber das ist doch viel zu simpel für einen beweis....

hagman kannst du mir deine aussage genauer erklären?

Antwort

hagman

hagman aktiv_icon

14:12 Uhr, 06.10.2010

Antworten

Wenn man

f (x) = \sqrt[n]{x}

auf beiden Seiten hoch

n

nimmt, folgt

{(f (x))}^{n} = x

. Diese Gleichung möchte ich auf beiden Seiten ableiten.
Rechts ergibt sich ganz klar 1.
Links steht nach Kettenregel

\frac{d}{d x} {(f (x))}^{n} = n \cdot {(f (x))}^{n - 1} \cdot f' (x)

Es folgt

n \cdot {(f (x))}^{n - 1} \cdot f' (x) = 1

\Rightarrow f' (x) = \frac{1}{n {(f (x))}^{n - 1}} = \frac{1}{n \cdot {(f (x))}^{n}} \cdot f (x) = \frac{1}{n \cdot x} \cdot \sqrt[n]{x}

bzw.

f' (x) = \frac{1}{n} \cdot x^{\frac{1}{n} - 1}

Streng genommen ist das in dieser Form nicht ganz sauber, weil die Differemzierbarkeit von

f

vorausgesetzt und nicht beweisen wird, und nur unter dieser Voraussetzung der Wert von

f'

errechnet wird. Kommt halt darauf an, ob und wenn ja was ihr schon zum Thema impklizites Differenzieren

o

.ä. gesagt habt

abiturientin12

abiturientin12 aktiv_icon

15:48 Uhr, 06.10.2010

Antworten

das geht schon klar so wie das ist.

vielen dank. du hast mich gerettet!!

Frage beantwortet

abiturientin12

abiturientin12 aktiv_icon

15:58 Uhr, 06.10.2010

Antworten

dankeschön

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