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Beweis der Produktregel

Schüler Gymnasium, 11. Klassenstufe

Tags: Ableitung, Beweis, Produktregel

janfreddy aktiv_icon

14:44 Uhr, 17.09.2009

Hallo,

Wir haben heute ein Arbeitsblatt mit dem Beweis der Produktregel bekommen uns sollen die einzelnen Schritte des Beweises beschreiben. Leider komme ich nach dem Schritt mit dem ausklammern nicht weiter. Wäre nett wenn mir jemand helfen kann.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Ableitungsregeln (Mathematischer Grundbegriff)
Ableitung (Mathematischer Grundbegriff)
Differenzenquotient (Mathematischer Grundbegriff)
Differenzierbarkeit (Mathematischer Grundbegriff)
Ableitung einer Funktion an einer Stelle (Mathematischer Grundbegriff)
Ableitungsfunktion (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Ableiten mit der h-Methode
Ableitungsregeln für Polynomfunktionen
Extrema / Terrassenpunkte
Kettenregel

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f' (x)

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f (x)

an der Stelle

x_{0}

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Sebastian1988 aktiv_icon

14:49 Uhr, 17.09.2009

am anfang wärs doch ziemlich hilfreich, wenn du uns das blatt einscannen und hochladen könntest.

janfreddy aktiv_icon

14:55 Uhr, 17.09.2009

Müsste jetzt hochgeladen sein. Ging vorher leider nicht, weil das Bild größer als

500

kbyte war.

lepton

15:32 Uhr, 17.09.2009

Du hast eine Ausgangsfkt. in der Form

f (x) = u (x) \cdot v (x)

und bildest daraus den Differenzenquotienten, sprich die Steigung der Sekante

\Rightarrow \frac{Δ y}{Δ x} = \frac{f (x) - f (x_{0})}{x - x_{0}}

danach bildest du den Grenzwert mit

x \to x_{0}

und damit die Steigung der Tangente

\Rightarrow f' (x) = lim_{x \to x_{0}} \frac{u (x) \cdot v (x) - u (x_{0}) \cdot v (x_{0})}{x - x_{0}}

Danach führst du eine Ergänzung von Term und Gegenterm durch:

| - u (x_{0}) \cdot v (x); + u (x_{0}) \cdot v (x)

\Rightarrow f' (x) = lim_{x \to x_{0}} \frac{u (x) \cdot v (x) - u (x_{0}) \cdot v (x) + u (x_{0}) \cdot v (x) - u (x_{0}) \cdot v (x_{0})}{x - x_{0}}

Danach klammerst du

v (x)

aus den ersten beiden Summanden sowie

u (x_{0})

aus den anderen beiden Summanden aus

\Rightarrow f' (x) = lim_{x \to x_{0}} \frac{[u (x) - u (x_{0})] \cdot v (x) + u (x_{0}) \cdot [v (x) - v (x_{0})]}{x - x_{0}}

Jetzt bildest du den Grenzwertsatz für jeden einzelnen Summanden und definierst dadurch

u' (x) \land v' (x) .

\Rightarrow f' (x) = lim_{x \to x_{0}} \frac{u (x) - u (x_{0})}{x - x_{0}} \cdot lim_{x \to x_{0}} v (x) + lim_{x \to x_{0}} \frac{v (x) - v (x_{0})}{x - x_{0}} \cdot lim_{x \to x_{0}} u (x_{0})

\Rightarrow = u' (x_{0}) \cdot v (x_{0}) + u (x_{0}) \cdot v' (x_{0})

janfreddy aktiv_icon

15:51 Uhr, 17.09.2009

Vielen Dank.

Leider verstehe ich aber noch nicht, warum man im Enderergebnis aufeinmal u´(x) und v´(x) hat. Deshalb wär es nett wenn mir jemand bitte einmal den letzten Schritt erklären könnte.

EDIT: Hab es doch verstanden. War nur grad zu dumm.

janfreddy aktiv_icon

15:54 Uhr, 17.09.2009

Danke

lepton

16:08 Uhr, 17.09.2009

Schaue dir mal die folgende Seite an:

http//de.wikipedia.org/wiki/Differentialrechnung

Falls es dir nicht weiter helfen sollte, dann sollte euer Lehrer auf jeden Fall nochmal darauf eingehen, wie man aus der Sekantensteigung durch eine geeignete Näherung an der Stelle

x_{0}

die Steigung der Tangente ermittelt und somit auch die Steigung einer Fkt.

f

.Denn dieser Aspekt bildet den Grundpfeiler der gesamten Differentialrechnung.

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