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Cauchy Verteilung Ableitung

Schüler Gymnasium, 12. Klassenstufe

Tags: Ableitung, Cauchy Verteilung, halbwertsbreite, Wendepunkt

Math34

11:30 Uhr, 28.04.2014

Hallo,
Also die Aufgabe lautet:

Eine cauchy-Verteilung ist gegeben durch folgende Gleichung:

$f (x) = \frac{1}{π} \cdot \frac{s}{s^{2} + {(x - t)}^{2}}$

Und zu erst soll das Maximum berechnet werden. Dafür bräuchte ich ja eigentlich die Ableitung, nur verwirren mich hier die vielen Buchstaben einbisschen, so das ich nicht den richtigen Anfang finde..

Danke im voraus!!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Ableitung (Mathematischer Grundbegriff)
Differenzenquotient (Mathematischer Grundbegriff)
Differenzierbarkeit (Mathematischer Grundbegriff)
Ableitung einer Funktion an einer Stelle (Mathematischer Grundbegriff)
Ableitungsfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
Ableitungsregeln (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Ableiten mit der h-Methode
Ableitungsregeln für Polynomfunktionen
Extrema / Terrassenpunkte
Kettenregel
Krümmungsverhalten

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14:33 Uhr, 28.04.2014

Also, $\frac{s}{π}$ ist nur ein Faktor, er bleibt so stehen.
Ableiten musst Du nur $\frac{1}{s^{2} + (x - t)^{2}}$ . Das geht nach bekannten Regeln:

$(\frac{1}{s^{2} + (x - t)^{2}})^{ʹ} = - \frac{(s^{2} + (x - t)^{2})^{ʹ}}{(s^{2} + (x - t)^{2})^{2}} = - \frac{((x - t)^{2})^{ʹ}}{(s^{2} + (x - t)^{2})^{2}} = - \frac{2 (x - t)}{(s^{2} + (x - t)^{2})^{2}}$ .

Math34

22:40 Uhr, 28.04.2014

Okay danke!
Für das Maximum brauche ich ja die nullstelle der ableitung, hab das mal versucht, sieht nur etwas komisch aus:

$0 = \frac{- 2 s (x - t)}{π \cdot {({(x - t)}^{2} + s^{2})}^{2}})$ . Dann dachte ich man kann $x - t$ einmal kurzen

$0 = \frac{- 2 s}{π \cdot {((x - t) + s^{2})}^{2}}$

$π \cdot {((x - t) + s^{2})}^{2} = - 2 s$

$\sqrt{π} \cdot (x - t + s^{2}) = \sqrt{- 2 s}$

$(x - t + s^{2}) = \frac{\sqrt{- 2 s}}{\sqrt{π}}$

$x = \frac{\sqrt{- 2 s}}{\sqrt{π}} + t - s^{2}$

Sieht mir irgendwie falsch aus..

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22:51 Uhr, 28.04.2014

"Dann dachte ich man kann x−t einmal kurzen "

Kann man nicht. Bzw. ist das, was Du machst, gar kein Kürzen. Du veränderst den Wert des Ausdrucks.

Aber die Sache ist viel einfacher, denn ein Bruch ist genau dann $0$ , wenn sein Zähler $0$ ist, und der Zähler sieht sehr einfach aus.

Math34

22:57 Uhr, 28.04.2014

Also dann einfach:

$0 = - 2 s (x - t)$
0=-2sx+2st
2sx=2st
x=2st/2s
$x = t$

Ist es das?

Math34

22:58 Uhr, 28.04.2014

Habe ich auch gemerkt wo ich fertig war $- . -$

Wenn ich dann den vollständigen maximus Wert haben will, setze ich dann $t$ in die ausgangsgleichung ein, bei mir kommt da dann $(t | \frac{1}{π \cdot s})$ raus?

So die halbwertsbreite ist ja jeweils die Hälfte des maximalen Wert, also in dem fall: $\frac{1}{2} t$ und $- 1 \frac{1}{2} t$ das zieht man dann von einander ab und erhalt $t$ für die halbwertsbreite?

Math34

23:00 Uhr, 28.04.2014

Wie kann ich daraus dann die halbwertsbreite berechnen?

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23:04 Uhr, 28.04.2014

"Ist es das?"

Ja, wenn auch es schneller geht. Denn in diesem Fall kann man tatsächlich kürzen. :-)
Und bekommt aus $0 = - 2 s (x - t)$ sofort $x - t = 0$ .

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23:05 Uhr, 28.04.2014

Nach der Definition:
http://de.wikipedia.org/wiki/Halbwertsbreite
:-)

Math34

06:46 Uhr, 29.04.2014

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07:26 Uhr, 29.04.2014

"So die halbwertsbreite ist ja jeweils die Hälfte des maximalen Wert, also in dem fall: 12t und −112t das zieht man dann von einander ab und erhalt t für die halbwertsbreite?"

Nein. Der maximale Wert der Funktion ist $1 / (π s)$ und nicht $t$ .
Der halbe maximale Wert ist also $1 / (2 π s)$ . Also musst Du Punkte $x_{1}, x_{2}$ finden, für welche $f (x_{1}) = f (x_{2}) = 1 / (2 π s)$ ist.
Lese bitte die Definition etwas aufmerksamer.

Math34

10:04 Uhr, 29.04.2014

Dann muss ich ja $\frac{1}{2 \cdot π \cdot s}$ mit der ausgangsgleichung gleich setzen und nach $x$ auflösen, jedoch kommt bei mir da nur ziemlich wirre sachen raus..

Math34

10:14 Uhr, 29.04.2014

Mein Ansatz:

$\frac{1}{2 \cdot π \cdot s} = \frac{1}{π} \cdot \frac{s}{s^{2} + {(x - t)}^{2}}$
$\frac{π}{2 \cdot π \cdot s} = \frac{s}{s^{2} + {(x - t)}^{2}}$
$1 = \frac{2 s^{2}}{s^{2} + {(x - t)}^{2}}$

Bis ich dann bei dem Zwischenschritt bin:

$0 = {(x - t)}^{2} - 1$

Theortisch könnte man ja jetzt die $p - q$ formel machen, jedoch verwirrt mich die $- 1,$ wenn es bis dahin überhaupt so gemacht werden kann.

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10:33 Uhr, 29.04.2014

"Bis ich dann bei dem Zwischenschritt bin:"

Das Ergebnis ist falsch.
Richtig kommt $(x - t)^{2} = s^{2}$ raus.
Das löst man direkt:
$x - t = \pm s$ - daher zwei Punkte.

Math34

10:40 Uhr, 29.04.2014

Okay danke!

Das heißt um die halbwertsbreite auszurechnen muss ich ja $x_{1} - x_{2}$ rechnen also:
$(t + s) - (t - s) = 2 s$ ?

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10:44 Uhr, 29.04.2014

Ja, so ist es.

Math34

10:48 Uhr, 29.04.2014

Das war ne schwere Geburt :-) danke!!!

Dann soll ich noch den Wendepunkt bestimmen, als zweite Ableitung habe ich:

$\frac{4 s (x - t)}{π \cdot {(x - t^{2} + s^{2})}^{3}} - \frac{2 s}{π \cdot {(x - t + s^{2})}^{2}}$

Nur weiß ich nicht genau, wie ich da denn Wendepunkt rausbekommen soll. Das erste Teil ist wie vorhin, das heißt es kommt für $x t$ raus, aber beim zweiten steht ja kein $t$ dabei, ist der Wendepunkt dann einfach $x = t - 2 s$ ?

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10:54 Uhr, 29.04.2014

"Nur weiß ich nicht genau, wie ich da denn Wendepunkt rausbekommen soll."

Indem Du den ganzen Ausdruck $0$ setzt und nach $x$ auflöst.

Math34

12:39 Uhr, 29.04.2014

Hab noch paar Klammern vergessen:

$\frac{8 s {(x - t)}^{2}}{{(π \cdot ({(x - t)}^{2}) + s^{2})}^{3}} - 2 \frac{s}{{(π \cdot ({(x - t)}^{2}) + s^{2})}^{2}}$

Aber irgendwie fehtl mir hier der Ansatz...

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13:06 Uhr, 29.04.2014

Wie addiert man zwei Brüche?

Math34

14:15 Uhr, 29.04.2014

Ja auf den gleichen Nenner bringen.
Hab dann den zweiten Teil mal $({(x - t)}^{2} + s^{2})$

Dann ist das ja zusammengefasst:

${\frac{{8 s {(x - t)}^{2}} - {2 s ({(x - t)}^{2} + s^{2}}}}{π \cdot {({(x - t)}^{2} + s^{2})}^{3}}$

Aber wie es dann weiter gehen soll

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14:17 Uhr, 29.04.2014

Nur den Zähler betrachten (weil für die Suche von Nullstellen der Nenner keine Rolle spielt), und da einfach alles ausklammern. Bzw. lieber nicht alles, man kann schon geschickter vorgehen, aber dass sind schon Details. Geht auch mit "alles ausklammern".

Math34

14:42 Uhr, 29.04.2014

Kann man es dann so machen?

$0 = 8 s {(x - t)}^{2} - 2 s ({(x - t)}^{2} + s^{2})$
$0 = 6 s {(x - t)}^{2} - 2 s^{3}$
$2 s^{3} = 6 s {(x - t)}^{2}$
$\frac{2 s^{3}}{6 s} = {(x - t)}^{2}$
$\frac{1}{3} s^{2} = {(x - t)}^{2}$
$\frac{1}{3} s = x - t$
$x = \frac{1}{3} s + t$

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14:47 Uhr, 29.04.2014

Bis hierher was es richtig:
$s^{2} / 3 = (x - t)^{2}$ .

Weiter geht es so:
$x - t = \pm s / \sqrt{3}$
Also, zwei Lösungen: $x = t - s / \sqrt{3}$ und $x = t + s / \sqrt{3}$ .

Math34

15:28 Uhr, 29.04.2014

Okay jetzt habe ichs :-D) Vielen vielen dank für die gute Hilfe $!!!$

Math34

15:28 Uhr, 29.04.2014

Danke!

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