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Extremweraufgabe mit Parabel, Gerade und Dreieck

Schüler Gymnasium,

Tags: Aufgabe, Dreieck, Extremwert, Extremwertaufgabe, Flächeninhalt, Gerade, Parabel

 
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MGarrix01

MGarrix01

19:18 Uhr, 09.08.2019

Antworten
Hallo, ich komme leider bei folgender Extremwertaufgabe nicht weiter:
Gegeben ist die Funktion f(x)=-x2+6x-5. die Gerade x=a(1 kleiner gleich a kleiner gleich 5) schneidet den Graphen von f im Punkt P und die x-Achse im Punkt Q. Die Punkte P und Q bilden mit dem Punkt R(10) ein rechtwinkliges Dreieck. Für welches a hat dieses Dreieck maximalen Flächeninhalt? Außerdem soll der maximale Flächeninhalt berechnet werden.
Ich habe leider keine Ahnung wie ich an die Aufgabe rangehen soll. Für Antworten bedanke ich mich jetzt schon!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."
Hierzu passend bei OnlineMathe:
Quadratische Funktionen (Mathematischer Grundbegriff)
Parabel (Mathematischer Grundbegriff)
Quadratische Ergänzung

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:
 
Antwort
Respon

Respon aktiv_icon

20:22 Uhr, 09.08.2019

Antworten
Mache eine Skizze.
Bestimme die Nullstellen deiner Funktion und du wirst feststellen, dass sie mit den Randpunkten des gegebenen Intervalls übereinstimmen.
Bestimme die Koordinaten der Schnittpunkte des Graphen der Geraden mit dem Graphen der Funktion und der x-Achse in Abhängigkeit vom Parameter a.
Aus den beiden Katheten des rechtwinkeligen Dreiecks läßt sich ( in Abhängigkeit von a) eine Funktion für den Flächeninhalt des rechtwinkeligen Dreiecks bilden.

Antwort
Greg Pyler

Greg Pyler aktiv_icon

21:48 Uhr, 09.08.2019

Antworten
Hallo,

P=(a-a2+6a-5),Q=(a0),R=(10)



F(a)=(a-1)(-a2+6a-5)2=-a3+6a2-5a+a2-6a+52

=-12a3+72a2-112a+52   als die Fläche des Dreiecks PQR     a[1,5]   (☆).

Nun bestimme a[1,5] und F(a), sodass F(a)= Max {F(x):x[1,5]}.

Zunächst findet man wegen (☆) schnell F(1)=F(5)=0.

Wir bestimmen nun a(1,5), sodass

F'(a)=-32a2+7a-112=0

a2-143a+113=0

a1,2=73±499-113=73±169=73±43

a=113.

Die hinreichende Bedingung für ein striktes lokales Maximum
ist wegen (☆) nicht mehr wirklich wichtig, aber wegen

F''(113)=-3113+7=-4<0 nichtsdestotrotz erfüllt.

Also ist für a=113

F(113)=(113-1)(-(113)2+6113-5)2

=83(-1219+22-5)2=43(-1219+17)=43(-1219+1539)=43329=12827

maximal, wie gewünscht.



(☆) Wohldefiniertheit wegen

-a2+6a-5=-(a-1)(a-5),

-22+62-5=3>0.



Ich hoffe, ich habe mich nicht verrechnet, Fragen ?

Antwort
rundblick

rundblick aktiv_icon

22:28 Uhr, 09.08.2019

Antworten
.
"Ich ..,.. habe mich nicht verrechnet"
na ja , Angeber?: Punkte sind keine Vektoren - also: die schreibt Mann nicht als Vektor auf..


"Fragen ?" ... ja: was soll der arme Fragesteller denn jetzt noch selbst machen ? siehe :

....... "Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen." .......
.
Antwort
Greg Pyler

Greg Pyler aktiv_icon

22:43 Uhr, 09.08.2019

Antworten
"Punkte" haben Marienkäfer auf'm Rücken !

Wir spielen hier auf dem Vektorraum R^2
und dessen Elemente (die "Punkte") sind Vektoren.

Und der Fragesteller, Entschuldigung an ihn, dass
ich hier in der dritten Person über ihn spreche,
kann doch einfach mal gucken, was da so bei
meinem Machwerk abgeht und sich nehmen, was er
gebrauchen kann, oder gegebenenfalls fragen...

Antwort
Mathe45

Mathe45

01:09 Uhr, 10.08.2019

Antworten
Also, wir nehmen zur Kenntnis, dass DU die Aufgabe lösen kannst.
Und ?
Befriedigt ?
Antwort
Greg Pyler

Greg Pyler aktiv_icon

01:57 Uhr, 10.08.2019

Antworten
Wer ist wir, Sie, Mathe43 und Mathe44 ?
Oder die spanische Inquisition ?
Und seit wann duzen wir uns ?
Antwort
Greg Pyler

Greg Pyler aktiv_icon

03:21 Uhr, 10.08.2019

Antworten
Was mir an der Aufgabe gefällt,
ist die schöne Lösung - man kann
sie komplett zu Fuß rechnen.
Kann man das gezielt so designen ?

Für natürliche Zahlen n1,n2
und für eine rationale Zahl pq[n1,n2] sei

-(x-n1)(x-n1)(x-n2)

maximal.

Ausmultiplizieren:

(x2-2n1x+n12)(n2-x)

=-x3+(2n1+n2)x2-(n12+2n1n2)x+n12n2.

Ableitung gleich 0 für x=pq:

-3(pq)2+2(2n1+n2)pq-(n12+2n1n2)=0



(pq)2-23(2n1+n2)pq+13(n12+2n1n2)=0



pq=2n1+n23±(2n1+n2)29-n12+2n1n23

=2n1+n23±(4n12+4n1n2+n22)-(3n12+6n1n2)9

=(2n1+n2)±n12-2n1n2+n223

=(2n1+n2)±(n1-n2)23

=(2n1+n2)±(n1-n2)3

=n1+2n23   (da n1 ausgeschlossen).

Wir haben also eine einfache Formel für derlei Aufgaben
und wissen, dass die Lösungen (Stelle und Fläche)
immer schön rational sind.

Beispiele (nur Stelle):

n1=1,n2=5a=n1+2n23=113   (schon bekannt),


n1=2,n2=8a=n1+2n23=6.




MGarrix01

MGarrix01

16:38 Uhr, 10.08.2019

Antworten
Moin, erstmal danke für deine umfangreiche Antwort. Leider kann ich nicht do richtig nachvollziehen wie du am Anfang auf f(a) kommst?
Lg
Antwort
Greg Pyler

Greg Pyler aktiv_icon

17:19 Uhr, 10.08.2019

Antworten
Hallo,

die Funktion habe ich selbst F (wie "Fläche") genannt und die ist nicht f,

denn die steht in der Aufgabenstellung und ist was anderes (die Parabel).

Nun zum Making Of F:

Die Strecken Q-R und P-Q sind die Katheten des Dreiecks,    (☆)

dessen Fläche ist somit |Q-R||P-Q|2.

|P-Q|=|(a-a2+6a-5)-(a0)|=|(a-a-a2+6a-5-0)|=|(0-a2+6a-5)|

=02+(-a2+6a-5)2=(-a2+6a-5)2=-a2+6a-5,

was man auch ganz kühn direkt behaupten könnte und analog folgt |Q-R|=a-1.



Wo ist deine Skizze ?



(☆) Formal korrekt sind das die Ortsvektoren,

die mit den Katheten in Richtung und Länge übereinstimmen.

Die Strecken bezeichnet man korrekt mit [QR], [PQ].
Antwort
Atlantik

Atlantik aktiv_icon

13:56 Uhr, 11.08.2019

Antworten
Alternative über verschobene Parabel:

p1(x)=-x2+6x-5 mit R1(1|0)p2(x)=-x2+4x mit R2(0|0)

gm(x)=mx

-x2+4x=mx

x2-4x+mx=0

x(x-4+m)=0

x1=0

x2=4-m

Am=04-mmxdx=[m2x2]04-m=m2(4-m)2=m2(16-8m+m2)=8m-4m2+m32

Am ´ =8-8m+32m2

8-8m+32m2=0

m1=43

m2=4

Am ´´ =-8+3m

Am ´ ´ (43)=-8+343=-4<0Maximum

Am ´ ´ (4)=-8+34=4>0Minimum

u. s.w.

mfG

Atlantik

Graphen:

Unbenannt
Antwort
Greg Pyler

Greg Pyler aktiv_icon

15:45 Uhr, 11.08.2019

Antworten
Boah, mit Integrieren, geht natürlich auch !

Ich möchte mein Universalkit von zuvor noch flugfähig machen,
so kann man die Aufgabe im Handumdrehen tausendfach neu präsentieren...

Für f(x)=-(x-n1)(x-n2) mit n1n2 ist die Fläche des Dreiecks ABC mit

A=(n10),B=(a0),C=(a-(a-n1)(a-n2)) und   a[n1,n2]

maximal für

a=n1+2n23

und beträgt dann

Fmax=227(n2-n1)3     (☆).


Beispiele:

n1=1,n2=5a=113,Fmax=12827   Ur-Aufgabe,

n1=0,n2=4a=43,Fmax=12827   Beispiel von Atlantik,

n1=2,n2=8a=6,Fmax=16,

n1=3,n2=92a=4,Fmax=14.


(☆) Making Of Fmax:

Fmax=-(n1+2n23-n1)2(n1+2n23-n2)2

=-(2n2-n13)2n1-n232

=-4(n12-2n1n2+n22)9n1-n26

=-227(n13-2n12n2+n1n22-n12n2+2n1n22-n23)

=227(-n13+3n12n2-3n1n22+n23)

=227(n2-n1)3.



Antwort
Greg Pyler

Greg Pyler aktiv_icon

09:30 Uhr, 12.08.2019

Antworten
By Pablo Picasso...

20190812_091535
Frage beantwortet
MGarrix01

MGarrix01

18:45 Uhr, 12.08.2019

Antworten
Dann bedanke ich mich bei allen, die sich die Zeit genommen haben und diese Aufgabe bearbeitet haben.
Lg