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Wendepunkt und Ortskurve berechnen

Schüler Gesamtschule,

Tags: Ableitung, Funktion, Funktionsschar, Ortskurve, Schar, Wendepunkt

P4ul19 aktiv_icon

18:41 Uhr, 04.01.2017

Die Aufgabe habe ich als Bild verlinkt. Einfach draufklicken ;-)

Also bisher habe ich

f'' = 0

gesetzt
Ich habe dann

x = \frac{1}{a}

Dann:

f a (\frac{1}{a}) = (a \cdot \frac{1}{a} + 1) \cdot e^{- a \cdot \frac{1}{a}}

= (a + 1) \cdot e^{- a \cdot \frac{1}{a}}

Und nun hänge ich...
Danke für eure Hilfe

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
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anonymous

18:42 Uhr, 04.01.2017

Hoi, ich hab nicht geguckt, ob Deine Lösungen stimmen, aber so geht es weiter:

Wenn Du den vollen WP in Abhängigkeit von a hast, isses nicht mehr weit:

W (\frac{1}{a} | (a + 1) e^{- 1})

Denn jetzt muss

I)

x = \frac{1}{a}

und

II)

y = (a + 1) e^{- 1}

sein. Für die Ortslinie musst Du nun die 1. Gleichung nach a auflösen und in die zweite einsetzen. (Da die zweite Gleichung ja wie bei Funktionen gewünscht, bereits nach

y

aufgelöst ist)

also

I)

a = . .

.

und in II)

y = (... + 1) e^{- 1}

Ggf noch zusammenfassen, fertig! ;-)

P4ul19 aktiv_icon

18:46 Uhr, 04.01.2017

Danke für die Antwort
Ich glaube, dass

\frac{1}{a}

schon falsch ist... da ich ja als

x

Wert 0 haben muss. Und

\frac{1}{1}

ist nicht 0.

P4ul19 aktiv_icon

18:48 Uhr, 04.01.2017

Ich habe einen

W P

raus, allerdings weist der den gegebenen

W P

nicht nach:

W P (\frac{1}{a} | 2 e^{- 1})

Daher ist

\frac{1}{a}

falsch

...

. denke ich.

Respon

18:52 Uhr, 04.01.2017

Vermutlich war deine Ausgangsfunktion

f_{a} (x) = (a \cdot x + 1) \cdot e^{- a \cdot x}

Überprüfe

f_{a} (\frac{1}{a})

anonymous

18:53 Uhr, 04.01.2017

Sorry, ja hab' jetzt mal auf's Bild geklickt ;-)

Also der lokale Extrempunkt

E (0 | 1)

sopll unabhängig von a sein. Wir kümmern uns aber gerade um die Ortslinie der Wendepunkte?!

Eins nach dem anderen:

Wenn Du den (von a unabhängigen) Extrempunkt beweisen willst, musst Du

{f'}_{a} (x) = 0

setzen und es sollte

x = 0

(also unabhängig von

a)

herauskommen.

Für die (Ortslinie der) Wendestellen musst Du

f''_{a} (x) = 0

setzen und da kommt dann auch

x = \frac{1}{a}

raus, sofern die zweite Ableitung mit

f''_{a} (x) = e^{- a x} (a^{3} x - a^{2})

angegeben ist (ich kann nicht erkennen, wieviele Ableitungsstriche angegeben sein sollen)

Leider kenne ich gerade die Ausgangsfunktion nicht, und kann Deinen y-Wert nicht nachvollziehen. Wahrscheinlich ist der falsch, denn mit

W (\frac{1}{a} | (a + 1) e^{- 1})

käme keine "zur x-Achse parallele" Ortslinie heraus.

Leider habe ich jetzt einen Frisörtermin, weshalb sich ggf. andere an der weiteren Lösung probieren müssen. Poste doch dazu die Ausgangsfunktion, dann müssen wir nicht partiell aufleiten ;-)

Grüße und viel Erfolg weiterhin!

edit: Top und Danke Respon! Du übernimmst ;-) bitte :-)

P4ul19 aktiv_icon

18:55 Uhr, 04.01.2017

Das ist sie ;-)

f a (x) = (a x + 1) \cdot e^{}

(-ax)

Respon

18:58 Uhr, 04.01.2017

f_{a} (\frac{1}{a}) = (a \cdot \frac{1}{a} + 1) \cdot e^{- a \cdot \frac{1}{a}} = (1 + 1) \cdot e^{- 1} = 2 \cdot e^{- 1}

P4ul19 aktiv_icon

19:02 Uhr, 04.01.2017

Danke, aber dass habe ich bereits. Mein Problem war, dass ich versucht habe den Extrempunkt mit der 2. Ableitung nachzuweisen. Könnten du prüfen ob meine 1. Ableitung richtig ist:

f' (x) = e^{- a x} (- a x - a)

Respon

19:06 Uhr, 04.01.2017

f_{a}' (x) = - a^{2} \cdot x \cdot e^{- a \cdot x}

P4ul19 aktiv_icon

19:12 Uhr, 04.01.2017

Danke, damit konnte ich den Extrempunkt beweisen ;-)

Setze mich jetzt an die Ortskurve.

Respon

19:13 Uhr, 04.01.2017

Wovon die Ortskurve ?

P4ul19 aktiv_icon

19:14 Uhr, 04.01.2017

Der Wendepunkte

Respon

19:15 Uhr, 04.01.2017

Die "Ortskurve" hast du schon !

Respon

19:27 Uhr, 04.01.2017

Nachdenkpause ?

P4ul19 aktiv_icon

19:27 Uhr, 04.01.2017

? Da stehe ich jetzt auf dem Schlauch

Respon

19:31 Uhr, 04.01.2017

Für den Wendepunkt in Abhängigkeit von dem Parameter a hast du bekommen:

W_{a} (\frac{1}{a} | \frac{2}{e})

Da der y-Wert eine Konstante ist und NICHT von a abhängig, befinden sich alle Wendepunkte der Kurvenschar auf der Geraden

g (x) = \frac{2}{e}

Diese Gerade ist - wie im Text angesprochen - parallel zur x-Achse.

P4ul19 aktiv_icon

19:33 Uhr, 04.01.2017

Ist mir auch jetzt eingefallen :-) DANKE

Gwunderi aktiv_icon

20:15 Uhr, 04.01.2017

Es ist ja angegeben, dass bei (0/1) immer ein lokaler Extrempunkt sein soll.

Also einfach x=0 in f einsetzen:
Was erhält man unabhängig von a?

Dann die 1. Ableitung, hast Du ja schon:
Was erhält man wenn man x=0 in die 1. Ableitung einsetzt?

Nachweis erbracht.

P.S. Sehe jetzt: der Nachweis der ersten Teilaufgabe, für den zweiten Teil verweise ich auf Respon :-)

P4ul19 aktiv_icon

20:29 Uhr, 04.01.2017

y=1...Danke Ein 2. Lösungsweg.

Respon

20:34 Uhr, 04.01.2017

Es ist nicht "angegeben", sondern man soll es laut Angabentext nachweisen.
Ist

f (0)

unabhängig von

a,

so hat das vorerst mit einem Extrempunkt nichts zu tun.

Gwunderi aktiv_icon

20:43 Uhr, 04.01.2017

Vorerst nicht, aber erst mal erhält man, dass bei x=0 der y-Wert immer 1 ist.
Und ich sagte ja, dann x=0 in die erste Ableitung einsetzen, gibt auch immer einen "besonderen" Wert unabhängig von a.

P4ul19 aktiv_icon

20:54 Uhr, 04.01.2017

Wenn ich aber mein

x,

dass ich durch mein

f'

erhalten habe in die Ausgangsgleichung setze kann nur 1 heraus kommen, egal welches a es ist.

Respon

21:01 Uhr, 04.01.2017

Viel wichtiger ist, dass

f_{a}'' (0) \neq 0 \Rightarrow

Extrempunkt.
Und da

f_{a}'' (0) = - a^{2} (

laut Angabe

a \neq 0) \Rightarrow

Hochpunkt.

anonymous

21:10 Uhr, 05.01.2017

Zusatz:

"Weisen Sie nach, dass alle Funktionen der Schar durch den Extrempunkt

E (0 | 1)

verlaufen"

\to

Die Alternative ist okay (wenn mitsamt

f''

der Nachweis erfolgt).

"Weisen Sie nach, dass alle Funktionen der Schar nur durch

E (0 | 1)

verlaufen"
->Die Alternative schlägt fehl, da sie nicht zeigt, dass

E

der einzige(!) gemeinsame Punkt ist.

Fazit: Lieber zeigen, dass

{f'}_{a} (x) = 0

nur eine Lösung unabhängig vom Scharparameter hat, als - wie hier möglich - etwaige vorgegebenen Angaben nachzuweisen..

Grüße

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