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Integration: Umkehrfunktion der Ableitung

Universität / Fachhochschule

Integration

Tags: Ableitung, Integration, Umkehrfunktion

Akescha aktiv_icon

18:01 Uhr, 12.01.2012

Hallo, ich habe eine grundlegende Frage zum Thema Beweise über Integrale:
kann ich allgemein sagen, dass die Ableitung des Integrals wieder meine Ausgangsfunktion ist?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Ableitung (Mathematischer Grundbegriff)
Differenzenquotient (Mathematischer Grundbegriff)
Differenzierbarkeit (Mathematischer Grundbegriff)
Ableitung einer Funktion an einer Stelle (Mathematischer Grundbegriff)
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Ableitungsregeln (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

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pwmeyer aktiv_icon

19:09 Uhr, 12.01.2012

Hallo,

wenn ich Dich recht verstehe, fragst Du nach dem Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung. Eine Variante:

F (x) := \int_{a}^{x} f (t) d t \Rightarrow F' (x) = f (x)

Gruß pwm

Akescha aktiv_icon

20:30 Uhr, 12.01.2012

danke erst einmal für deine Antwort

ich muss gestehen, ich war etwas übereifrig mit der Frage.
Meine Aufgabe ist:

f

ist eine stetige Funktion von

[a, b]

nach R.

f (x) > 0

für alle

x \in [a, b]

und

\int_{a}^{b} f (x) d x = 0,

so ist

f (x) = 0

für alle

x \in [a, b]

und dabei wollte ich den HDI anwenden. Bin mir aber nicht sicher, ob es in diesem Zusammenhang möglich ist...

Vielleicht kannst du mir diesbezüglich noch einmal auf die Sprünge helfen? Das wäre sehr nett.

Gnauchy aktiv_icon

23:29 Uhr, 12.01.2012

Du meinst wahrscheinlich f(x)>=0 im Intervall, oder?
An sich ist das nicht verkehrt, zu sagen, dass das Integral keine Steigung hat, also differenziert 0 sein muss. Wenn ihr den HS schon hattet, dann spricht nichts dagegen. Ansonsten könntest du ihn je nach Integraldefinition "kurz" zeigen, oder andere Sätze heranziehen.

michaL aktiv_icon

00:48 Uhr, 13.01.2012

Hallo,

bekannt sein sollte:

f

auf

[a; b]

Riemann-integrierbar und

f (x) \geq 0

dort, so gilt

\int_{a}^{b} f (x) d x \geq 0

Dann bringt es meiner Meinung nach ein Widerspruchsbeweis, bzw am besten gleich Kontraposition. Zeige, dass aus

f (x) > 0

auch

\int_{a}^{b} f (x) d x > 0

gilt.

Benutze, dass es also ein

x_{0} \in [a; b]

gibt, mit

y_{0} := f (x_{0}) > 0

. Dann gibt es wegen der Stetigkeit von

f

auch eine ganze

ε

-Umgebung von

x_{0}

, sodass ...

Na, ja. Und so weiter.

Mfg Michael

Akescha aktiv_icon

08:14 Uhr, 13.01.2012

Danke Leute, ihr habt mir sehr geholfen :-)
super, dass es diese Möglichkeit gibt :-)

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