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Optimierung Quader-Volumen

Universität / Fachhochschule

Tags: Ableitung, Extremwert, hauptbedingung, Nebenbedingung, Optimierung, Quadervolumen

SeveQ aktiv_icon

16:31 Uhr, 16.05.2009

Hallo,

ich habe hier eine Optimierungsaufgabe zu lösen. Folgendermaßen lautet der Text der Aufgabe (sinngemäß):

Ein rechteckiges Blech mit den Kantenlängen $16$ LE (Längeneinheiten) und $10$ LE wird an den Ecken so eingeschnitten, dass die Ausschnitte eine quadratische Fläche mit der Seitenlänge $x$ ergeben. Die nun entstandenen Laschen bilden zusammen mit dem Rest des Bleches einen oben offenen Quader. Wie lang muss $x$ sein, um dem Quader ein maximales Volumen zu geben?

Ich habe nun folgende Bedingungen aufgestellt:

Hauptbedingung:

$V (a, b, x) = a \cdot b \cdot x$

Nebenbedingungen:

$a + 2 x = 16$
$b + 2 x = 10$

$D_{x} = [0, 10]$

Ermittle ich nun die Zielfunktion, so ergeben sich folgende Schritte:

1. $a + 2 x = 16 \Rightarrow a = 16 - 2 x$
2. $b + 2 x = 10 \Rightarrow b = 10 - 2 x$
3. $V (x) = (16 - 2 x) \cdot (10 - 2 x) \cdot x \Rightarrow V (x) = 4 x^{3} - 52 x^{2} + 160 x$

Zwecks Extremwertermittlung die 1. Ableitung $= 0 :$

$V' (x) = 12 x^{2} - 104 x + 160 = 0$

Ermittle ich darüber nun $x,$ so erhalte ich für $x$ entweder einen negativen Wert oder einen Wert knapp $> 10$ .

Ich muss also irgendwo einen Fehler gemacht haben. Bloß wo?

Danke für eure Hilfe!

Viele Grüße,
Hendrik

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Ableitung (Mathematischer Grundbegriff)
Differenzenquotient (Mathematischer Grundbegriff)
Differenzierbarkeit (Mathematischer Grundbegriff)
Ableitung einer Funktion an einer Stelle (Mathematischer Grundbegriff)
Ableitungsfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
Ableitungsregeln (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Ableiten mit der h-Methode
Ableitungsregeln für Polynomfunktionen
Extrema / Terrassenpunkte
Kettenregel

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Cauchy09

17:02 Uhr, 16.05.2009

Ich hätte es genau so gemacht. Als Lösungen für $V' (x) = 0$ kriege ich aber $x = 2$ und $x = \frac{20}{3}$ raus. Bei $x = 2$ ist das Maximum.

SeveQ aktiv_icon

17:08 Uhr, 16.05.2009

Extremstelle... Ja, extrem merkwürdig ist, dass ich jetzt, wenn ich die Funktion nochmal in den Taschenrechner zwecks Nullstellenermittlung eingebe, für $x$ auch 2 und $\frac{20}{3}$ erhalte.

Ich muss mich da irgendwie zu doof angestellt haben, beim Eingeben der Funktion in den TR.

Zumindest weiß ich jetzt, dass der Lösungsweg korrekt ist. Das ist schonmal eine große Hilfe.

Danke!

Grüße,
Hendrik

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