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Scheitelpunkt(-b/2a\c-b²/4a)

Universität / Fachhochschule

Tags: Formel, Herleitung, Parabel, Quadratische Funktion

wolfger1 aktiv_icon

20:46 Uhr, 21.02.2018

könntet ihr mir helfen des ist nicht normaler Stoff bie mir
wie kommt man auf diese Formel?
Lösungsansatz:
ax²+bx+c=a(x-xs)²+ys\\\Binomische Formel
ax²+bx+c=a*x²-a*2*xs*x+a*xs²+ys\\\a*2*xs=b
ax²+bx+c=a*x²-b*x+a*xs²+\\\Äquivalentes Umformen/(a*x²+b*x)

c =

-2*b*x+a*xs²+ys\\\Äquivalentes Umformen/+2*b*x/-a*xs²
c+2*b*x-a*xs²=ys
a*x²+b*x+c

= y

y =

a*x²+b*x+c\\\//a

\frac{y}{a} =

x²+b/a*x+c/a

o =

x²+p*x+q

o =

x²+b/a*x+c/a

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Mitternachtsformel
Quadratische Funktionen (Mathematischer Grundbegriff)
Parabel (Mathematischer Grundbegriff)
Quadratische Ergänzung

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Aus Funktionsgleichung Skizze erkennen
Aus Skizze Funktionsgleichung ablesen
Schnittpunkt mit der y-Achse bestimmen
Schnittpunkte zweier Parabeln bestimmen
Schnittpunkte zwischen Parabel und Gerade bestimmen

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

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ledum aktiv_icon

21:47 Uhr, 21.02.2018

Hallo
das ist viel einfacher als es da steht mit der quadratischen Ergänzng

a \cdot x^{2} + b \cdot x + c = a \cdot (x^{2} + \frac{b}{a} \cdot x + {(\frac{b}{2 \cdot a})}^{2} - {(\frac{b}{2 \cdot a})}^{2}) + c

das

{(\frac{b}{2 \cdot a})}^{2}

nennt man die quadratische Ergänzung
damit haben wie

a {(x + \frac{b}{2 \cdot a})}^{2} - a \cdot \frac{b}{{(2 \cdot a)}^{2}} + c

und damit ist

x_{s} = - \frac{b}{2} a

und

y_{s} = c - \frac{b^{2}}{4 \cdot a}

was du geschrieben hast geht den umgekehrten Weg: du fängst an mit

a \cdot {(x - x_{s})}^{2} + y_{s} = a \cdot x^{2} - 2 \cdot a \cdot x_{s} \cdot x + a \cdot x_{s}^{2} + y_{s}

jetzt vergleicht man mit ax^2+b*x

+ c

und sieht bei

x

steht

- 2 \cdot a \cdot x_{s}

in der einen Formel

b

in der anderen also hat man

b = - 2 \cdot a \cdot x_{s}

und kann daraus

x_{s} = - \frac{b}{2 \cdot a}

berechnen
ohne

x

steht in der einen

F

ormel

a \cdot x_{s}^{2} + c

in der anderen

y_{s}

also hat man

a \cdot x_{s}^{2} + c = y_{s}

wenn man da noch

x_{s} = - \frac{b}{2 \cdot a}

einsetzt hat man

y_{s} = a \cdot (- \frac{b}{{(2 \cdot a)}^{2}} + c

oder ausgerechnet

y_{s} = - \frac{b^{2}}{4 \cdot a} + c

du siehst die Ergebnisse sind dieselben, aber sich das als Formeln zu merken ist schrecklich, dagegen jedesmal die quadratische Ergänzung zu machen lernt man schnell.
Beispiel

; y = 2 x^{2} - 6 x + 4

y = 2 \cdot (x^{2} - 3 x + {(\frac{3}{2})}^{2} - {(\frac{3}{2})}^{2}) + 4

y = 2 \cdot {(x - \frac{3}{2})}^{2} - 2 \cdot {(\frac{3}{2})}^{2} + 4

y = 2 \cdot {(x - \frac{3}{2})}^{2} - \frac{1}{2}

jetzt klar?
Gruß ledum

wolfger1 aktiv_icon

20:17 Uhr, 22.02.2018

Hatte blos zweifach gefragt damit alle antworten können.

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