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Schnittpunkt im Wendepunkt

Schüler Allgemeinbildende höhere Schulen, 12. Klassenstufe

Tags: Funktionsgleichung, Ordnung, Parabel, Rechtwinklig, Wendepunkt

helga19 aktiv_icon

18:51 Uhr, 07.11.2010

Gegeben ist die Funktion

f (x) = (\frac{1}{8} x^{3}) - (\frac{3}{2} x) + 2

Wendepunkt

(\frac{0}{2})

Durch den Wendepunkt

W

und den Punkt

P (\frac{4}{4})

wird eine Parabel 2. Ordnung

g (x)

so gelegt, dass sie die gegebene Funktion

f (x)

im Wendepunkt

W

rechtwinkelig schneidet. Wie lautet die Funktionsgleichung von

g (x)

?

Lösung:

f (x) = (- \frac{1}{24} x^{2}) + (\frac{2}{3} x) + 2;

mit den Bedingungen

f (4) = 4; f (0) = 2;

und

f' (0) = \frac{2}{3}

Frage: wie komme ich auf die 3. Bedingung? Wie muss ich da rechnen?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Quadratische Funktionen (Mathematischer Grundbegriff)
Parabel (Mathematischer Grundbegriff)
Quadratische Ergänzung
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)
Schnittpunkte bestimmen

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Einführung Funktionen
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Shipwater aktiv_icon

18:57 Uhr, 07.11.2010

Hallo,

damit die Parabel

g (x)

das Schaubild von

f (x)

rechtwinklig im Wendepunkt schneidet muss gelten:

g' (0) \cdot f' (0) = - 1

(Orthogonalitätskriterium)

f' (0) = - \frac{3}{2}

kannst du schnell berechnen. Ergibt also:

g' (0) \cdot (- \frac{3}{2}) = - 1 \Leftrightarrow g' (0) = \frac{2}{3}

Schau auch mal hier:
http//de.wikipedia.org/wiki/Orthogonalit%C3%A4t#Analytische_Geometrie

Gruß Shipwater

helga19 aktiv_icon

19:08 Uhr, 07.11.2010

dankeschön das du so schnell geantwortet hast, aber ich kenn mich noch immer nicht ganz aus.... soll ich da quasi eine gleichung draus machen, dass ich diesen punkt bekomme? und davor ableiten?

Shipwater aktiv_icon

19:35 Uhr, 07.11.2010

Du meinst diese Bedingung? Damit sich

f (x)

und

g (x)

an der Stelle

x = 0

(Wendestelle von

f (x))

rechtwinklig schneiden muss für das Produkt der Steigungen

f' (0) \cdot g' (0) = - 1

gelten. Da

f' (0)

ermittelbar ist, kannst du daraus also eine weitere Bedingung für

g (x)

erhalten. Und zwar

g' (0) = \frac{2}{3}

Allgemein sind zwei Geraden rechtwinklig, wenn für das Produkt ihrer Steigungen

m_{1} \cdot m_{2} = - 1

gilt.

Gruß Shipwater

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