Vollständige Induktion: Ableitung beweisen

Hallo,

ich soll folgendes per vollständiger Induktion beweisen:

${\displaystyle \left({\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^{\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}\right)\prime =\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}*{\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^{\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}-1}}$ für ${\displaystyle \mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\in \mathrm{N<mspace\; width="0.12em"></mspace>},\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}>0}$

Ich bin wie folgt vorgegangen:

Induktionsanfang: n=1

${\displaystyle \left({\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^{\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}\right)\prime =\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}=1*{\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^{1-1}}$

Aufgrun der Ableitungsregeln für Funktionen.

Induktionsschluss:

Induktionsvorraussetzung:

${\displaystyle \left({\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^{\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}\right)\prime =\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}*{\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^{\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}-1}}$ gilt für alle beliebigen, aber festen ${\displaystyle \mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\in \mathrm{N<mspace\; width="0.12em"></mspace>},\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}>0}$

z.Zg.: ${\displaystyle \left({\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^{\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}+1}\right)\prime =(\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}+1)*{\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^{(\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}+1)-1}}$

Induktionsschritt:

n->n+1

${\displaystyle \left({\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^{\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}+1}\right)\prime =({\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^{\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}*{\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^{-1})\prime \begin{array}{c}*\\ =\end{array}\left({\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^{\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}\right)\prime *{\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^{-1}+{\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^{\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}*\left({\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^{-1}\right)\prime }$

Hier habe ich die Produktregel angewendet... weiter geht's, denn nach Induktionsvorraussetzung gilt ja:

${\displaystyle \mathrm{...}=\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}*{\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^{\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}-1}*{\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^{-1}+{\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^{\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}*{-\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^{-2}=\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}*{\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^{\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}-2}-{\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^{\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}-2}}$

Jetzt komm ich aber leider nicht mehr weiter :( bin ich auf dem richtigen Weg? Kann mir jemand einen Tipp geben?