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Vollständige Induktion: Ableitung beweisen

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Tags: Ableitung, Beweis, Funktion, Vollständig Induktion

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mailball

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21:51 Uhr, 31.05.2011

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Hallo,

ich soll folgendes per vollständiger Induktion beweisen:

$(x^{n})' = n * x^{n - 1}$ für $n \in N, n > 0$

Ich bin wie folgt vorgegangen:

Induktionsanfang: n=1

$(x^{n})' = x = 1 * x^{1 - 1}$

Aufgrun der Ableitungsregeln für Funktionen.

Induktionsschluss:

Induktionsvorraussetzung:

$(x^{n})' = n * x^{n - 1}$ gilt für alle beliebigen, aber festen $n \in N, n > 0$

z.Zg.: $(x^{n + 1})' = (n + 1) * x^{(n + 1) - 1}$

Induktionsschritt:

n->n+1

$(x^{n + 1})' = (x^{n} * x^{- 1})' \begin{matrix} * \\ = \end{matrix} (x^{n})' * x^{- 1} + x^{n} * (x^{- 1})'$

Hier habe ich die Produktregel angewendet... weiter geht's, denn nach Induktionsvorraussetzung gilt ja:

$... = n * x^{n - 1} * x^{- 1} + x^{n} * {- x}^{- 2} = n * x^{n - 2} - x^{n - 2}$

Jetzt komm ich aber leider nicht mehr weiter :( bin ich auf dem richtigen Weg? Kann mir jemand einen Tipp geben?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
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ericsatie76

ericsatie76 aktiv_icon

22:09 Uhr, 31.05.2011

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Hallo,

Da sind ein paar kleine Fehler drin.

Also: Es ist zu beweisen (über vollständige Induktion), dass

(x^{n})' = n \cdot x^{n - 1}

Induktionsanfang:

n = 1

\Rightarrow (x^{1})' = 1 \cdot x^{1 - 1} = 1

Induktionschritt:

n \to n + 1

\Rightarrow (x^{n + 1})' = (x^{n} \cdot x)' = n \cdot x^{n - 1} \cdot x + x^{n} = n \cdot x^{n} + x^{n} = (n + 1) \cdot x^{n}

Damit ist bewiesen, dass

(x^{n})' = n \cdot x^{n - 1}

Lg Jan

Frage beantwortet

mailball

mailball aktiv_icon

22:14 Uhr, 31.05.2011

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Oh man, danke. Ich habe mich beim Zerlegen im ersten Schritt vertan

(x^{- 1}

statt

x^{1})

:-)

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