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ableitung der umkehrfunktion

Schüler Gymnasium, 11. Klassenstufe

Tags: Ableitung, Umkehrfunktion

samsonite aktiv_icon

22:29 Uhr, 01.01.2013

hi, habe ein problem mit dieser aufgabenart.. ich muss ne schularbeit über das thema umkehrfunktionen und ihre ableitung schreiben und dazu übungsaufgaben dieser art machen:

für die umkehrbare fkt

f (x) = x + x 3

kann man die ableitung der umkehrfkt an manchen stellen berechnen, ohne die umkehrfkt zu kennen.
berechnen sie den wert der ableitung der umkehrfkt von0,2, −10

0) 1

2) \frac{1}{13}

3) \frac{1}{301}

stimmen meine lösungen?

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prodomo aktiv_icon

09:25 Uhr, 02.01.2013

Ja.

f^{- 1}' = \frac{1}{f'}

wegen Spiegelung an der Geraden

y = x

(Diagonale)

anonymous

10:37 Uhr, 02.01.2013

Die Aufgabe ist mißverständlich wiedergegeben:
"berechnen sie den wert der ableitung der umkehrfkt von 0,2, −10..."

Ist z.B. gemeint: "berechnen sie den wert der ableitung der umkehrfkt an den Stellen 0,2, −10..", dann erhalte ich andere Werte

Zunächst ist f(0)=0, f(1)=2, f(-2)= -10 , also

f^{- 1} (0) = 0; f^{- 1} (2) = 1; f^{- 1} (- 10) = - 2

sowie

f^{,} (0) = 1; f^{,} (1) = 4; f^{,} (2) = 13

und wegen

(f^{- 1} (y))^{,} = \frac{1}{f^{,} (x)}

folgt:

(f^{- 1})^{,} (0) = \frac{1}{f^{,} (0)} = \frac{1}{1} = 1

(f^{- 1})^{,} (2) = \frac{1}{f^{,} (1)} = \frac{1}{4}

(f^{- 1})^{,} (- 10) = \frac{1}{f^{,} (- 2)} = \frac{1}{13}

rundblick aktiv_icon

11:09 Uhr, 02.01.2013

wenn die Funktion so aussieht:

f (x) = x^{3} + x

. .

. dann hat deren Umkehrfunktion

f^{- 1} \to

\to

an der Stelle

x = 0

die Steigung 1

\to

an der Stelle

x = 2

die Steigung

\frac{1}{4}

\to

an der Stelle

x = - 10

die Steigung

\frac{1}{13}

EDIT
berichtigt, sorry

\to

irrsinn07 hat Recht

samsonite aktiv_icon

17:33 Uhr, 02.01.2013

genauer aufgebenlaut: für die umkherbare funktion

f

mit

f (x) = x + x^{3}

kann man die ableitung der umkehrfunktion

f^{- 1}

an manchen stellen berechnen, ohne

f^{- 1}

zu kennen.
berechnen sie

f^{- 1} (0); f^{- 1} (2); f^{- 1} (- 10)

samsonite aktiv_icon

17:34 Uhr, 02.01.2013

danke!

anonymous

17:37 Uhr, 02.01.2013

man soll doch wohl die Ableitungen berechnen?!

@rundblick
Antworten sind bis auf eine falsch!

samsonite aktiv_icon

17:46 Uhr, 02.01.2013

oh, entschuldigung. ja du hast recht! man soll:

{f'}^{- 1} (0); . .

. berechnen
welche ist falsch?

anonymous

18:26 Uhr, 02.01.2013

die drei Werte, die ich dir mitgeteilt habe, sind richtig.

Einen der Fälle habe ich mal graphisch dargestellt - eigentlich für rundblick vorgesehen.

rundblick aktiv_icon

18:44 Uhr, 02.01.2013

" eigentlich für rundblick vorgesehen."
danke dir irrsinnig - habe es oben berichtigt

samsonite aktiv_icon

21:03 Uhr, 06.01.2013

'sowie

f' (0) = 1; f' (1) = 4; f' (2) = 13'

wie kommst du auf diese werte? die ableitung der funkton ist doch f'(x)=1+3x²
dann bekomme ich nicht die selben werte heraus..

samsonite aktiv_icon

21:06 Uhr, 06.01.2013

sorry, denkfehler.. habe es verstanden!

samsonite aktiv_icon

19:24 Uhr, 11.01.2013

Danke

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