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einfache trigonometrische Funktion mit cos

Schüler Berufskolleg,

Tags: Kosinus, Trigonometrische Funktionen

 
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overlock

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13:38 Uhr, 11.04.2012

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ich habe aufgabe cos(2x)=1. ich verstehe das mein x=0 oder +-2pi ist. In den Lösungen wird jedoch auch ±π angezeigt. Wie komme ich darauf
Hierzu passend bei OnlineMathe:
Tangensfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
Kosinusfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
Sinusfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
Kosinus (Mathematischer Grundbegriff)
Trigonometrie (Mathematischer Grundbegriff)
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Rechenregeln Trigonometrie
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)

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Antwort
Paulus

Paulus

13:41 Uhr, 11.04.2012

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Hallo overlock

Das kommt daher, dass es nicht heisst cos(x), sondern cos(2x)

Damit ist jeweils 2x=2kπ

Und somit x=kπ

... wobei k eine ganze Zahl ist.

Alles klar?

Gruss

Paul
overlock

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13:51 Uhr, 11.04.2012

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leider ist es mir noch nicht ganz so klar ich hätte gedacht ich müsste cos(2x)=1 substituieren also 2x=u somit habe ich cos(U)=1 also u=0.
beim rücksub. wärde dann auch x=0. und dann gibt es doch die regel dass ich das ergebnis +2π⋅k aber damit komme ich jan nicht nur auf π wenn k eine ganze zahl ist.
Antwort
Paulus

Paulus

14:00 Uhr, 11.04.2012

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Hallo overlock

ja, die Idee mit dem Substituieren ist in Ordnung.

cos(2x)=1;2x:=u

cos(u)=1

ergibt dann
u=0
u=±2π
u=±4π
u=±6π
...
...
...

Das wird dann, weil u ja 2x ist, zu


2x=0
2x=±2π
2x=±4π
2x=±6π
...
...
...

Diese Resultate kannst du allesamt durch 2 dividieren (auf beiden Seiten des Gleichheitszeichens) und bekommst:

x=0
x=±1π
x=±2π
x=±3π
...
...
...

Du siehst, dass alle ganzen Zahlen (das sind ja die positiven und die negativen) als Faktor vor dem π vorkommen. Deshalb kann man diese Resultate zusammenfassen zu:

x=k⋅π;k∈ℤ

Was bedeutet, dass du für das k jede beliebige ganze Zahl einsetzen darfst, um ein korrektes Ergebnis zu erhalten.

ℤ={... -3,-2,-1,0,1,2,3,...}

Etwas klarer?

Gruss

Paul
Frage beantwortet
overlock

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14:02 Uhr, 11.04.2012

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ja danke habs jetzt verstanden