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Wo kommt das Minus in dieser Ableitung her?

Universität / Fachhochschule

Differentiation

Tags: Ableitung, Ableitungsregeln, Differentiation

aldamuhu aktiv_icon

17:16 Uhr, 10.03.2010

Hallo Welt,

ich habe da wieder eine Frage, da ich beim lezten Mal so gute und geduldige Antworten bekommen habe, frage ich erneut. :-)

Bei der Funktion

G (x) = - \frac{2}{3} \cdot x^{2} + 27 \cdot x - 80

soll nach

G' (x)

abgeleitet werden. Meine Lösung passt leider nicht ganz mit der Musterlösung überein.

\frac{:}{}

Meine Lösung:

G' (x) = - \frac{2}{3} + \frac{6}{3} \cdot x + 27

gekürzt

G' (x) = \frac{4}{3} x + 27,

laut Musterlösung

G' (x) = - \frac{4}{3} \cdot x + 27

Wo liegt mein Fehler? Mit welchem Schritt kann ich das

x

auf die andere Seite bringen?

Danke für eure Hilfe, kennt ihr gute Quellen wo ich meine Lücke schließen kann? Bin leider kein Matheass.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich benötige bitte nur das Ergebnis und keinen längeren Lösungsweg."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Ableitungsregeln (Mathematischer Grundbegriff)
Ableitungsfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
Ableitung (Mathematischer Grundbegriff)
Differenzenquotient (Mathematischer Grundbegriff)
Ableitung einer Funktion an einer Stelle (Mathematischer Grundbegriff)
Differenzierbarkeit (Mathematischer Grundbegriff)

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g-zen aktiv_icon

17:20 Uhr, 10.03.2010

Bei der Ableitung nach der Potenzregel wird malgenommen, nicht addiert

f (x) = a \cdot x^{n}

\Rightarrow

f´(x)=

n \cdot a \cdot x^{n - 1}

also

- \frac{2}{3} \cdot 2 \cdot x + 27

LG, g-zen

aldamuhu aktiv_icon

17:23 Uhr, 10.03.2010

Danke schön, das habe ich jetzt verstanden, aber wie bekomme ich das

x

rüber?

Das war ja wirklich Pech, dass

- \frac{2}{3} + \frac{6}{3}

bis auf das Vorzeichen mit

- \frac{2}{3} \cdot \frac{6}{3}

übereinstimmt.

g-zen aktiv_icon

17:25 Uhr, 10.03.2010

Was meinst du mit "rüber"? beim Ableiten wird die Hochzahl am

x

eins niedriger

aldamuhu aktiv_icon

17:28 Uhr, 10.03.2010

Wenn ich

G' (x) = - \frac{12}{3} \cdot x + 27

gekürzt

G' (x) = - \frac{4}{3} \cdot x + 27

habe, dann möchte ich im nächsten Schritt

x

rüber also auf die andere Seite des Gleichs bekommen. jedoch sehe ich nicht mit welcher Rechenoperation.

NEPH1L1M aktiv_icon

17:29 Uhr, 10.03.2010

Hallo,
welches

x

meinst du ?

G (x) = - \frac{2}{3} \cdot x^{2} + 27 \cdot x - 80

Es heißt auch nicht nach

G (x)

´ableiten, sondern nach

x!

Hier gilt die Summenregel.

Also ganz einfach jedes der Glieder der Funktion

G (x)

einzeln ableiten:

- \frac{2}{3} \cdot x^{2} \Rightarrow - \frac{2}{3} \cdot 2 \cdot x = - \frac{4}{3} x

27 \cdot x \Rightarrow 27

- 80 \Rightarrow 0

\Rightarrow G (x)

= - \frac{4}{3} x + 27 + 0

Das wars eigentlich schon.

Ok ?

LG NEPHI

Lara-Do

17:29 Uhr, 10.03.2010

sich das das ergebnis

= - 43

⋅

x + 27

lautet und nicht

- 46 x + 27

was bei deiner Ableitung fehlt ist, dass du die 2 mal die minus

23

nimmst denn du hat ja

x^{2}

wie kommt ihr denn auf

- 43

- 23 \cdot 2 = - 46

g-zen aktiv_icon

17:32 Uhr, 10.03.2010

Nur in einer Gleichung kann man

x

auf die andere Seite bringen. Ich vermute mal, du bildedest die Ableitung, weil dich die Extrempunkte (also Hoch- und Tiefpunkte) interessieren? Die erste Ableitung gibt die Steigung an, daher erkennt man, wo die Graphen nicht mehr steigen, aber auch noch nicht wieder fallen (an Hochpunkt) bzw. umgekehrt. Es gilt also: f´(x)=0 an Etrempunkten.

NEPH1L1M aktiv_icon

17:36 Uhr, 10.03.2010

Hi Lara-Do,

es ist nicht

- 23

sondern

- \frac{2}{3}

:-)

LG NEPHI

aldamuhu aktiv_icon

17:40 Uhr, 10.03.2010

Entschuldigt bitte ich verstehe die letzten 3 Antworten nicht. Ich versuchs nochmal was ich bzw. die Aufgabe meine.

G (x) = - \frac{2}{3} \cdot x^{2} + 27 \cdot x - 80

ableiten nach

G' (x)

ergibt:

G' (x) = - \frac{4}{3} \cdot x + 27,

dann folgt in der Lösung das

G' (x)

durch 0 ersetzt wird, kann man wohl einfach machen, also

0 = - \frac{4}{3} \cdot x + 27

das Ergebnis ist dann laut Lösung:

x = 27 \cdot \frac{3}{4} = 20,25

Und ich versuch nachzuvollziehen was der Prof. da gemacht hat.

Lara-Do

17:40 Uhr, 10.03.2010

vllt. zeigt man computer das falsch an aber bei dir steht jetzt

- 23

nicht

- 23

g-zen aktiv_icon

17:40 Uhr, 10.03.2010

Jetzt wird es hier etwas verwirrend :-)

Aldamuhu, bitte schildere doch mal genauer deine Aufgabe. Was genau möchtest du rechnen, wozu soll die Ableitung benutzt werden?

g-zen aktiv_icon

17:45 Uhr, 10.03.2010

ok, das hat sich überschnitten, also:

0 = - \frac{4}{3} \cdot x + 27

auf beiden Seiten der Gleichung

27

abziehen

- 27 = - \frac{4}{3} \cdot x

beide Seiten durch

- \frac{4}{3}

- 27 : (- \frac{4}{3}) = x

man teilt durch einen Bruch, indem man mit dem Kehrbruch malnimmt, minus mal minus ergibt plus

27 \cdot \frac{3}{4} = x

20,25 = x

aldamuhu aktiv_icon

17:47 Uhr, 10.03.2010

Entschuldigung wollte keinen verwirren.

Die Aufgabe lautet: "Ermittle die gewinnmaximale Menge" gegeben ist die Gewinnfunktion mit

G (x) = - \frac{2}{3} \cdot x^{2} + 27 \cdot x - 80

NEPH1L1M aktiv_icon

17:47 Uhr, 10.03.2010

:-)? Wie hast du denn den Bruchstrich eingegeben?

Ich sehe jetzt zweimal

- 23 - 23

es heißt aber wirklich

- \frac{2}{3}

NEPH1L1M aktiv_icon

17:49 Uhr, 10.03.2010

Hier kannst du es dir vorrechnen und zeichnen lassen:

http//funktion.onlinemathe.de/

LG

aldamuhu aktiv_icon

17:50 Uhr, 10.03.2010

@g-zen

Danke deine Antwort hat mir geholfen. Jetzt versteh ich den Lösungsweg.

@Nephilem
Es tut mir leid ich sehe keine

23,

bei mir wird aus 2 durch 3 ein Bruch

\frac{2}{3}

NEPH1L1M aktiv_icon

17:51 Uhr, 10.03.2010

:-)) Ich meinte auch nicht dich sondern La-D

g-zen aktiv_icon

17:53 Uhr, 10.03.2010

Gut. Dann suchst du tatsächlich einen Hochpunkt oder ein Maximum - den maximalen Gewinn.
Den findet man, wenn man untersucht, wo die Gewinnkurve nicht mehr weiter ansteigt (weil man am Maximum angekommen ist).

Deshalb wird die erste Ableitung gebildet.
Die Regel ist wie folgt:
Die Hochzahl am

x

wird mit der Zahl vor dem

x

multipliziert und die neue Hochzahl eins niedriger gewählt (deine Version mit dem "Kürzen" ist zumindest eine unnötige Erschwerung, oder sogar ein falscher Ansatz).

Wenn die Ableitung

= 0

gesetzt ist, kannst du mit Gleichungen rechnen wie mit einer Balkenwaage: auf beide Seiten kann man dasselbe drauflegen oder wegnehmen, die Mengen halbieren oder Verdoppeln, wenn die Waage vorher im Gleichgewicht war, bleibt sie das auch nachher. Auf diese Weise stellt man nach

x

frei.

aldamuhu aktiv_icon

17:57 Uhr, 10.03.2010

@g-zen

Wow sehr anschaulich, das habe ich verstanden, danke sehr. :-D)

NEPH1L1M aktiv_icon

18:30 Uhr, 10.03.2010

Ich frage mich, habt ihr Gleichungen/Gleichungssysteme nicht in der Schule schon vorher behandelt, also bevor es zur Kurvendiskussion geht ?

LG NEPHI

aldamuhu aktiv_icon

18:53 Uhr, 10.03.2010

@NEPH1L1M
Du verwendest richtig und behandelt in einem Satz mit Schule. So etwas hatte ich in Mathe leider noch nicht.

Meine ersten beiden Mathelehrer/in waren Alkoholkrank, seit dem arbeite ich dran meine Lücken zu schließen. Das Ganze hat sich etwas verschleppt, da ich mich danach mit auswendig gelernten Kochrezepten durchgeschlagen habe, inkl. Abitur. Aber jetzt ist halt verstehen angesagt. ;-)

NEPH1L1M aktiv_icon

09:16 Uhr, 11.03.2010

Hallo,

aha - das ist natürlich nicht so schön

: - (

Aber wenn du das Abi geschafft hast, sollten Gleichungssysteme trotzdem bekannt sein.
Sonst wird es sehr schwierig Differentialgleichungen zu lösen etc.

Weiterhin viel Glück und Erfolg dabei.
Ich empfehle dir fürs Selbststudium folgende Bücher:

http://www.amazon.de/s/ref=nb_sb_noss?__mk_de_DE=%C5M%C5Z%D5%D1&url=search-alias%3Daps&field-keywords=papula&x=0&y=0

Toll und ausführliche Erklärungen.

LG NEPHI

aldamuhu aktiv_icon

13:11 Uhr, 11.03.2010

Vielen Dank für die Buchtipps, da werde mal reinschnuppern, wenn Sie gut sind kommt das Nächste, wobei ich ja kein Ingeneurstudium habe, da müsste Mathe noch heftiger sein.

Zum Thema Abi, da kommt man weitgehend ohne Mathe-Verständnis durch. Da ich manches nicht verstanden habe, bin ich da ganz IT'ler, ran gegangen. Also wenn dies dann folgt das usw., das meinte ich mit auswendig gelernten Kochrezepten als Vorgehensweisen. War rückwirkend nicht die beste Idee, damals sah ich keinen anderen Weg.

NEPH1L1M aktiv_icon

14:47 Uhr, 11.03.2010

Das gute an den Papula Büchern ist - trotz des Titels

(!) -

das alles sehr gut beschrieben ist von Anfang an. Warum der Titel so gewählt wurde ist wohl eher verkaufsphsychologisch zu sehen und weil das Themenfeld schon bis in die höhere Mathematik reicht.

Ich kann es nur empfehlen!

LG NEPHI

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