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2. Ableitung und krümmungsverhalten, wendepunkte

Schüler Fachoberschulen, 11. Klassenstufe

Funktionsbegriff

Funktionen

Tags: Ableitung, Funktion, Funktionsbegriff, Krümmung, Wendepunkt

Vexator aktiv_icon

15:50 Uhr, 09.11.2011

Hallo,

ich brauche Hilfe bei folgender Aufgabe.

f (x) = \frac{4 - x^{2}}{x^{2} - 1}

Untersuchen sie das krümmungsverhalten des Graphen von fx und überprüfen sie die existenz von Wendepunkten.

So weit habe ich die aufgabe:

f´(x)

= \frac{- 6 x}{{(x^{2} - 1)}^{2}}

bei der 2. Ableitung habe ich vermutlich einen Fehler gemacht:

f´´(x)

= - 6 x 12 x \land 2

Kann mir jemand bitte zeigen wie man hier die 2. Ableitung hinbekommt. Und wie ich zum krümmungsverhalten und wendepunkte komme! Danke im Voraus

lg

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DmitriJakov aktiv_icon

15:59 Uhr, 09.11.2011

Also:

f' (x) = \frac{- 6 x}{{(x^{2} - 1)}^{2}}

u = - 6 x

u' = - 6

v = {(x^{2} - 1)}^{2}

v' = 2 (x^{2} - 1) \cdot 2 x

f'' (x) = \frac{u' v - u v'}{v^{2}}

f'' (x) = \frac{- 6 \cdot {(x^{2} - 1)}^{2} - (- 6 x) \cdot 4 x (x^{2} - 1)}{{(x^{2} - 1)}^{4}}

f'' (x) = \frac{- 6 (x^{2} - 1) + 24 x^{2}}{{(x^{2} - 1)}^{3}}

f'' (x) = \frac{18 x^{2} + 6}{{(x^{2} - 1)}^{3}}

lallperiode aktiv_icon

16:05 Uhr, 09.11.2011

Und die 2. Ableitung gibt Dir das Krümmungsverhalten an.:

f ʺ (x) < 0

: Funktion ist in diesem Punkt rechtsgekrümmt

f ʺ (x) > 0

: linksgekrümmt

ein Wendepunkt ist der Punkt, in dem die Krümmung wechselt. Wie bekommt man diesen raus? Was muss in dem bzgl. der 2. Abl. gelten?

prodomo aktiv_icon

16:07 Uhr, 09.11.2011

Die erste Ableitung ist richtig. die zweite nicht, wobei der Fehler sich aus deinem Text nicht ermitteln lässt. Generell gilt für gebrochen rationale Funktionen, dass die Nenner ( hier

x^{2} - 1)

in der erstenn Ableitung auf keinen Fall ausquadriert werden sollten, da man dann offensichtliche Kürzungsmöglichkeiten unsichtbar macht. Hier also muss die Ableitung von

{(x^{2} - 1)}^{2}

geschrieben werden als

2 \cdot (x^{2} - 1) \cdot 2 \cdot x

. Dann gilt:

y'' = \frac{- 6 \cdot {(x 2 - 1)}^{2} - 2 \cdot (x^{2} - 1) \cdot 2 \cdot x \cdot (- 6 \cdot x)}{{(x^{2} - 1)}^{4}}

. Jetzt kann man

(x^{2} - 1)

ausklammern und kürzen !

y'' = \frac{- 6 \cdot (x^{2} - 1) + 24 \cdot x^{2}}{{(x^{2} - 1)}^{3}} = \frac{18 \cdot x^{2} + 6}{{(x^{2} - 1)}^{3}}

.
Mögliche Wendepunkte sind die Nullstellen der 2. Ableitung,

d . h

. des Zählers, also

18 \cdot x^{2} + 6 = 0,

was keine reellen Lösungen ergibt. Dies entspricht auch dem Schaubild. Die zweite Ableitung ist positiv, wenn der Nenner positiv ist, also für

x^{2} > 1, d . h

. links von

x = - 1

und rechts von

x = 1

. Dazwischen ist sie negativ,

d . h

. es herrscht dort Rechtskrümmung.

Vexator aktiv_icon

16:07 Uhr, 09.11.2011

Also heißt das konkrekt ich setzte Werte für

x

ein und schaue ob etwas positives oder negatives rauskommt. Daran kann ich dann sehen ob es links- bzw. rechtsgekrümmt ist?!

und wie schreibt man so was rein formel auf??

prodomo aktiv_icon

16:16 Uhr, 09.11.2011

Einsetzen wäre zwar im Prinzip möglich, aber dann bekommst du nur Werte für bestimmte Punkte heraus. Erfolgreicher ist es, wenn man ganze Bereiche erfasst. Hier

z . B

. ist der Zähler der zweiten Ableitung immer positiv, weil Quadrate immer Positiv sind. Der Nenner bestimmt also das Vorzeichen. Da es eine dritte Potenz ist, gleicht das Vorzeichen dem der Basis,

{(x^{2} - 1)}^{3}

hat also dasselbe Vorzeichen wie

x^{2} - 1

. Dieser vTerm ist positiv, wenn

x^{2} > 1

ist. Da

x^{2}

selbst immer positiv ist, muss der Betrag von

x

größer als 1 sein,

d . h

x < - 1

(links von

- 1)

oder

x > 1

(rechts von

1),

usw.

DmitriJakov aktiv_icon

16:17 Uhr, 09.11.2011

Nein, Du schaust zuerst mal ob und wenn ja wo

f'' (x) = 0

wird. Dann prüfst Du links und rechts dieser Stelle welches Vorzeichen

f''

dort dann hat.

Vexator aktiv_icon

16:22 Uhr, 09.11.2011

oke Danke an alle!

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