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Ableitung einer (exponential) Funktionenschar

Schüler Berufskolleg, 13. Klassenstufe

Tags: Ableitung, Exponentialfunktion, Funktionenschar

meredith aktiv_icon

19:09 Uhr, 10.01.2010

Hallo zusammen ich habe die Funktion

4 t \cdot

e^(-0,5kt) gegegben.

Nun soll ich die erste und zweite Ableitung berechnen...

Ich habe wie folgt angefangen:

f´k(t)=

4 \cdot

e^(-0.5kt)

+ 4 t \cdot

e^(-0.5kt)

\cdot (- 0,5 k \cdot 1)

Hier ist nun meine erste Frage, ich wende ja die Produktregel an

f (t) =

u´*v

+

u*v´

Nur wie leite ich das e^(-0,5kt) ab, wenn ich

k

als Konstante ansehe???

Schon mal vielen Dank im vorraus...

lg

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BjBot aktiv_icon

19:12 Uhr, 10.01.2010

Ich weiss nicht was du hast, deine Ableitung stimmt doch.

meredith aktiv_icon

19:47 Uhr, 10.01.2010

Hallo BjBot,

danke schonmal für die schnelle Antwort :-)

Nun habe ich aber eine weiter Frage, wenn ich dies zusammen fasse komme ich zu folgendem Ergebnis:

f´k(t)= e^(-0.5kt)

\cdot (16 t - 2 k)

mache ich hiervon die zweite Ableitung komme ich zu diesem Ergebnis

f´´k(t) = e^(-0.5kt)

\cdot (- k + 16 t + 16)

Dies ist aber ein ganz anderes Ergebnis als, das auf meinem Aufgabenblatt.
Ich hab auf dem Matheblatt diese Lösung stehen:

f´´k(t)= ke(-0.5kt)

\cdot

(kt-4)

Ich soll nämlich zeigen, dass die zweite Ableitung die auf dem Blatt angegebene ist.

BjBot aktiv_icon

19:50 Uhr, 10.01.2010

Zusammengefasst lautet die 1. ABleitung f'(t)=(4-2kt)e^(-0.5kt)

meredith aktiv_icon

20:14 Uhr, 10.01.2010

ok das habe ich verstanden aber wenn ich nun die zweite Ableitung anfange sieht das so aus:

f´´k(t) = e^(-0.5kt)

\cdot (- 0.5 k \cdot 1) \cdot

(4-2kt)+

e^{}

(-0.5kt)

\cdot (- 2 k \cdot 1)

Wie soll ich dies nun zusammenfassen, dass ich zum richtigen Ergebins komme?!?!

Ich weiß nämlich nicht wie ich

(- 0.5 k \cdot 1) \cdot

(4-2kt) zusammenfassen soll?

BjBot aktiv_icon

20:21 Uhr, 10.01.2010

Dieses "mal 1" kannst du dir eh sparen, denn das ändert ja nichts am Ergebnis ;-)
Woher kommt das überhaupt ?

-0,5k(4-2kt)=-2k+k²t

meredith aktiv_icon

20:31 Uhr, 10.01.2010

Dieses "Mal 1" kommt von der Ableitung von

t,

du hast aber recht man braucht es eigentlich nicht :-)

Aber ich hab da so meine Probleme mit dem

k^{2}

wie soll ich denn nun auf das Endergebins kommen???

f"k(t)= ke^(-0.5kt)

\cdot

(kt-4)

BjBot aktiv_icon

20:44 Uhr, 10.01.2010

-2k+k²t-2k=k²t-4k=k(kt-4)

meredith aktiv_icon

20:57 Uhr, 10.01.2010

aha du hast also das

k

ausgeklammert... ich glaube das hätte ich ohne deine Hilfe nie hinbekommen :-)

Vielen lieben Dank

BjBot aktiv_icon

21:01 Uhr, 10.01.2010

Gern geschehen.

Lass dich aber nich dadurch verunsichern wenn das Kontrollergebnis in der Lösung nicht hagenau so aussieht wie deins. Das ist meist eh dasselbe nur etwas umgeschrieben =)

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