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Beispiele für zweite Ableitung

Schüler Gymnasium, 10. Klassenstufe

Tags: Abbleitung, Ableitung, Funktionsuntersuchung, Intervall, Krümmung, Monotonie, streng monoton

delia95 aktiv_icon

22:51 Uhr, 21.03.2011

Hi :-)

Wir sollen uns für der Schule folgende Aufgabe anschauen:

Die folgenden Aussagen sind alle falsch. Finde geeignete Gegenbeispiele.
a) Wenn f' streng monoton zunehmend ist, dann ist auch f streng monoton zunehmend.
b) Wenn der Graph von f rechtsgekrümmt in I ist, dann gilt für alle x aus I: f''(x)<0.
c) Wenn f'(xnull)=0 ist, dann gilt: f''(xnull)>0 oder f''(xnull)<0.

Bei a) wiederlegt f(x)=x^2 die Aussage. Findet ihr noch mehr Beispiele? Und wie ist es bei b) und c)

Danke im vorraus!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
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Ableitung (Mathematischer Grundbegriff)
Differenzenquotient (Mathematischer Grundbegriff)
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Ableitung einer Funktion an einer Stelle (Mathematischer Grundbegriff)
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Ableitungsregeln (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

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Chrysipp

23:02 Uhr, 21.03.2011

Hallo delia,

zu b) Das

F ʺ (x)

in der Aussage kannst Du umschreiben. (Das große

F

steht hier für die Stammfunktion von

f

)
Wenn Du das getan hast, kannst Du Dir ja mal die Funktion

f (x) = - x^{2}

anschauen.

zu c) : Versuchs mal mit

f (x) = x^{3}

EDIT: Hast Du an Deinem ursprünglichem Beitrag was geändert? Als ich Dir geantwortet habe stand da:

b) Wenn der Graph von f rechtsgekrümmt in I ist, dann gilt für alle x aus I: F''(x)<0

Sollte ich mich verschaut haben, dann beachte meinen Vorschlag zu b) einfach nicht ;-)

delia95 aktiv_icon

12:15 Uhr, 22.03.2011

Ja, nachdem ich deine Antwort gelesen habe, habe ich gemerkt, dass ich mich verschrieben habe... also ich meine f und nicht F...
also stimmt b) so jetzt nicht oder?

Chrysipp

16:35 Uhr, 22.03.2011

Ich glaube ich habe mich bei meiner ersten Antwort falsch ausgedrückt, sorry.

Wenn es in der Aufgabe b) heißt:

b) Wenn der Graph von

f

rechtsgekrümmt in

I

ist, dann gilt für alle

x

aus

I

F ʺ (x) < 0

.

Dann kannst du

F ʺ (x)

auch schreiben als

f ʹ (x)

,
denn die zweite Ableitung der Stammfunktion

F

ist die erste Ableitung der Funktion

f

. Also

F ʺ (x) = f ʹ (x)

Dass diese Aussage falsch ist, zeigst du dann z.B. mit

f (x) = - x^{2}

,
denn diese Funktion ist auf ganz

R

rechtsgekrümmt,
aber

F ʺ (x) = f ʹ (x) = - 2 x

.

Wenn du also einen negativen

x

-Wert einsetzt gilt

F ʺ (x) > 0

.
Damit hast du ein Gegenbeispiel für Aussage b) gefunden.

Sollte die Aufgabe aber wirklich so heißen:

b) Wenn der Graph von f rechtsgekrümmt in I ist, dann gilt für alle x aus I: f''(x)<0.

... dann ist diese Aussage vollkommen richtig, es gibt dafür kein Gegenbeispiel.

Deswegen glaube ich, dass die Aufgabenstellung, so wie Du sie zuerst hier reingestellt hast, richtig war (also mit

F ʺ (x)

delia95 aktiv_icon

17:45 Uhr, 22.03.2011

Also in meinem buch steht f''(x). F''(x) hatten wir auch noch gar nicht...

Chrysipp

18:42 Uhr, 22.03.2011

Dann stimmt vielleicht das "<" nicht.

Generell gilt: Ist

f (x)

rechtsgekrümmt im Punkt

x_{0}

, dann ist

f ʺ (x) < 0

an der Stelle

x_{0}

. Also ist Aussage b), so wie sie da steht, richtig. Du kannst also kein Gegenbeispiel finden.

Wenn diese Aufgabe aber wortwörtlich so in deinem Buch steht, dann bin ich leider etwas überfragt :/

delia95 aktiv_icon

20:20 Uhr, 22.03.2011

also in meinem buch steht auch "<"
Weiß wer anders was da passen könnte?

DmitriJakov aktiv_icon

20:38 Uhr, 22.03.2011

Man könnte hier sagen, dass es heissen müsste: ist der Graph rechtsgekrümmt, dann gilt für alle

x

des Intervalls, dass

f'' (x) \leq 0

ist.
Als Beispiel könnte wieder

f (x) = x^{3}

dienen

Chrysipp

13:22 Uhr, 23.03.2011

Nachdem ich mich auch nochmal erkundigt habe, kann ich mich DmitriJakov nur anschließen: Die Aussage b) ist falsch, da die zweite Ableitung auch mal 0 sein kann.

Als Beispiel könnte man auch die Funktion

f (x) = - x^{4}

nehmen, denn diese Funktion ist auf ganz R rechtsgekrümmt, aber an der Stelle x=0 nimmt die zweite Ableitung

f ″ (x)

den Wert 0 an.

delia95 aktiv_icon

12:08 Uhr, 09.10.2011

Danke schön!

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