Mathematik online lernen im Mathe-Forum. Nachhilfe online

Startseite » Forum » Beweis der Ableitung der e-Funktion

Beweis der Ableitung der e-Funktion

Universität / Fachhochschule

Differentiation

Tags: Ableitung, Beweis, Vollständig Induktion

Nabla aktiv_icon

21:51 Uhr, 05.04.2010

Man beweise mithilfe der Methode der vollständigen Induktion:

Es gelte für

$f (x) = x * e^{x}$

die n-te Ableitung:

$f^{(n)} (x) = e^{x} (n + x)$

Danke Euch vielmals!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Ableitung (Mathematischer Grundbegriff)
Differenzenquotient (Mathematischer Grundbegriff)
Differenzierbarkeit (Mathematischer Grundbegriff)
Ableitung einer Funktion an einer Stelle (Mathematischer Grundbegriff)
Ableitungsfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
Ableitungsregeln (Mathematischer Grundbegriff)
e-Funktion (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Ableiten mit der h-Methode
Ableitungsregeln für Polynomfunktionen
Extrema / Terrassenpunkte
Kettenregel

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

Ableiten mit der Kettenregel

Wie leitet man mit der Kettenregel ab?

Wie leitet man verkettete Funktionen ab?

Ableiten mit der Produktregel

Wie leitet man mit der Produktregel ab?

Wie leitet man das Produkt zweier Funktionen ab?

Ableiten mit der Quotientenregel

Wie leitet man mit der Quotientenregel ab?

Wie leitet man den Quotienten zweier Funktionen ab?

Ableiten von Exponentialfunktionen

Wie leitet man Exponentialfunktionen ab?

Ableiten von Logarithmusfunktionen

Wie leitet man Logarithmusfunktionen ab?

Ableitung an einer Stelle

Wie bestimmt man die Ableitung

f' (x)

einer Funktion

f (x)

an der Stelle

x_{0}

Ableitung der trigonometrischen Funktionen

Wie lauten die Ableitungsfunktionen der Winkelfunktionen?

Wie lauten die Ableitungsfunktionen der trigonometrischen Funktionen?

Ableitung einer Polynomfunktion

Wie bestimmt man die Ableitung einer Polynomfunktion?

Ableitung einer Potenzfunktion mit ganzzahligem Exponenten

Wie bestimmt man die Ableitung einer Potenzfunktion mit ganzzahligem Exponenten?

Ableitung einer Summe zweier Funktionen

Wie bestimmt man die Ableitung einer Summe zweier Funktionen?

Ableitung eines Vielfachen einer Funktion

Wie bestimmt man die Ableitung eines Vielfachen einer Funktion?

Bestimmung spezieller Werte für Sinus bzw. Kosinus

Wie bestimmt man spezielle Werte für Sinus bzw. Kosinus?

Differenzenquotient berechnen

Wie wird der Differenzenquotient berechnet?

Differenzialquotient berechnen

Wie wird der Differenzialquotient berechnet?

Graph der 1.Ableitung und der Ausgangsfunktion

Wie hängt der Graph der 1.Ableitung mit dem Graph der Ausgangsfunktion zusammen?

Graphen der 1. und 2.Ableitung und Graph der Ausgangsfunktion

Wie hängen die Graphen der 1. und 2.Ableitung mit dem Graph der Ausgangsfunktion zusammen?

Herleitung: Ableitung der Kosinusfunktion

Wie leitet man die Kosinusfunktion ab?

Herleitung: Ableitung der Sinusfunktion

Wie leitet man die Sinusfunktion ab?

Herleitung: Ableitung der Tangensfunktion

Wie leitet man die Tangensfunktion ab?

Steckbriefaufgaben (mit Ableitung)

Wie löst man Steckbriefaufgaben?

Wie kann man den Sinussatz beweisen?

Wie kann man den Sinussatz beweisen und gilt dieser auch in rechtwinkligen Dreiecke?

Wie zeigt man, dass in einem allgemeinen Dreieck die größte Seite dem größten Winkel gegenüberliegt?

smoka

22:25 Uhr, 05.04.2010

Ein Beweis durch vollst. Induktion funktioniert immer nach dem gleichen Schema. Den ersten Schritt bekommst Du bestimmt hin.
Versuchs mal.

Nabla aktiv_icon

22:44 Uhr, 05.04.2010

Gut ich fange mal an...

1. Induktionsanfang:

A(1): $f^{'} (x) = e^{x} (1 + x)$ ; wahr über Produktregel der Differenziation

2. Induktionsschritt:

A(n+1): $f^{(n + 1)} (x) = e^{x} (n + 1 + x)$

??? Jetzt weiß ich nicht weiter....

smoka

22:58 Uhr, 05.04.2010

Ich würde so anfangen:

1. Induktionsanfang:

A (0) :

f^{(0)} (x) = x \cdot e^{x} = e^{x} \cdot (0 + x)

es gilt also

f^{(n)} (x) = e^{x} \cdot (n + x)

für ein

n \in ℕ

Nun ist zu zeigen, dass es auch für das nächste

n \in ℕ

gilt

2. Induktionsschritt:
z.z.:

A (n) \Rightarrow A (n + 1)

Wir wissen nun aus dem Induktionsanfang dass die Ableitung für ein gewähltes n

f^{(n)} (x) = e^{x} \cdot (n + x)

ist.
Um jetzt die (n+1)-te Ableitung zu bestimmen, leite

f^{(n)} (x)

ab und kuk was rauskommt.

PS: Wenn Du mit der ersten Ableitung anfangen möchtest geht das natürlich auch, aber dann müsstest Du es streng genommen noch für n=0 zeigen.

Nabla aktiv_icon

14:08 Uhr, 06.04.2010

Danke smoka...habs jetzt

744299

744201

	Status: nicht eingeloggt	Noch nicht registriert?