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Exponentialfunktion ableiten

Schüler

Tags: Ableitung, Exponentialfunktion

Mathebloeder aktiv_icon

21:21 Uhr, 12.02.2013

Hallo zusammen,

ich habe momentan etwas Probleme mit dem berechnen der Ableitungen dieser Funktion:

f : x \to 2 x ² * e^{- x}

Mein Lösungsvorschlag für die 1. Ableitung:

f (x) = 2 x ² * e^{- x}

4 x * e^{- x} + (2 x ² * - e^{- x})

4 x * e^{- x} - 2 x ² * e^{- x}

f'(x) =

4 x * e^{- x} - 2 x ² * e^{- x}

Bin mir ziemlich unsicher darüber ob das so richtig ist. Denn bei der 2. Ableitung hakt es nun.
Würd mir freuen, wenn jemand mal drübergucken könnte. :-)

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
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anonymous

21:27 Uhr, 12.02.2013

Die erste Ableitung ist richtig. Eventuell noch herausheben.

Mathebloeder aktiv_icon

21:31 Uhr, 12.02.2013

Danke für die schnelle Antwort!

Nun habe ich ein Problem mit der 2. Ableitung. :-D)
Wie gehe ich hier vor? Bzw. welche Regel greift hier? Irgendwie haperts da gerade..

anonymous

21:34 Uhr, 12.02.2013

Vorerst

f' (x)

vereinfachen.

4 \cdot x \cdot e^{- x} - 2 \cdot x^{2} \cdot e^{- x} = e^{- x} \cdot (4 \cdot x - 2 \cdot x^{2})

Jetzt nochmals die Produktregel anwenden.

Atlantik aktiv_icon

21:40 Uhr, 12.02.2013

Ich mache den Weg über die Quotientenregel

f (x) = \frac{2 x^{2}}{e^{x}}

(\frac{2 x^{2}}{e^{x}})

= \frac{4 x \cdot e^{x} - 2 x^{2} \cdot e^{x}}{{(e^{x})}^{2}} = \frac{4 x - 2 x^{2}}{e^{x}} = (4 x - 2 x^{2}) \cdot (e^{- x})

Wenn du die Klammer auflöst, kommst du auf dein Ergebnis.

mfG

Atlantik

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21:56 Uhr, 12.02.2013

Aahh das vereinfachen.. Nun ergibt's wieder einigermaßen Sinn. :-)
Aber mal schauen, ist das richtig:

f ʹ (x) = e^{- x} * (4 x - 2 x ²)

u =

e^{- x}

u'=

- e^{- x}

v = 4x - 2x²
v'= 4 - 4x

=

- e^{- x} * (4 x - 2 x ²) + e^{- x} * (4 - 4 x)

(4 - 4 x) * e^{- x} - (4 x - 2 x ²) * e^{- x}

f''(x) =

(4 - 4 x) * e^{- x} - (4 x - 2 x ²) * e^{- x}

anonymous

21:57 Uhr, 12.02.2013

e^{- x}

herausheben und in der Klammer reduzieren.

Mathebloeder aktiv_icon

22:19 Uhr, 12.02.2013

Hmm.. *grübel*

e^{- x} * (x ² - 2 x + 4)

anonymous

22:23 Uhr, 12.02.2013

Leider nein, nochmals versuchen.

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22:37 Uhr, 12.02.2013

*weiter grübel*

e^{- x} * (2 x ² - 4 x ²)

?

Ich hasse dieses vereinfachen.. :-D)

anonymous

22:44 Uhr, 12.02.2013

f'' (x) = (4 - 4 \cdot x) \cdot e^{- x} - (4 \cdot x - 2 \cdot x^{2}) \cdot e^{- x}

f'' (x) = e^{- x} \cdot [(4 - 4 \cdot x) - (4 \cdot x - 2 \cdot x^{2})]

f'' (x) = e^{- x} \cdot (4 - 4 \cdot x - 4 \cdot x + 2 \cdot x^{2})

f'' (x) = e^{- x} \cdot (2 \cdot x^{2} - 8 \cdot x + 4)

Geht's noch weiter ? ( Hochpunkte, Tiefpunkte, Wendepunkte, eingeschlossene Fläche, Rotationskörper,

...

. ? )

Mathebloeder aktiv_icon

22:55 Uhr, 12.02.2013

Uff.. Da wäre ich vermutlich nicht mehr drauf gekommen.
Aber vielen Dank für die Auflösung. :-) Wieder was gelernt.

Jap, nun gehts noch weiter. Extrem- und Wendepunkte bestimmen. Ich glaube, ich stelle nach meiner Rechnung meinen Lösungsvorschlag nochmal zur Kontrolle hier rein.

-------------------------------------------------------------------------------------

Update: Falls es doch zu unübersichtlich ist, mache ich nochmal einen neuen Thread auf.
Aber sonst, habe ich mich nun dran gemacht die Extrem- und Wendepunkte zu suchen. Hier mein Lösungsvorschlag:

Notwendige Bedingung für Extrempunkte:
f'(x) = 0
f'(x) =

e^{- x} * (4 x - 2 x ²)

= 0

Gefunde Nullstelle: x = 0

Hinreichende Bedingung für Extrempunkte:

f''(x) =

e^{- x} * (2 x ² - 8 x + 4)

f''(0) =

e^{- 0} * ((2 * 0 ²) - (8 * 0) + 4)

= 4 > 0
Also gibts nen Tiefpunkt.

f (x) = 2 x ² * e^{- x}

f (0) = (2 * 0 ²) * e^{- 0}

= 0

Der Tiefpunkt der Funktion

f (x) = 2 x ² * e^{- x}

befindet sich also bei {0|0}

Notwendige Bedingung für Wendepunkt:
f''(x) = 0
Hier stecke hier momentan fest. Gibts auch hier nur eine Nullstelle bei x = 0?

Bin mir auch sonst nicht ganz sicher. O.o Die Eulersche Zahl bei der Nullstellensuche verwirrt mich etwas. Außerdem habe ich bereits aus lauter "Verzweiflung" etwas geschummelt und die Funktion mal in GeoGebra dargestellt. Das Programm sagt mir, dass es auch einen Hochpunkt gibt. Nur wie finde ich den? Mit nur einer Nullstelle?

Würde mich freuen, wenn mir jemand helfen könnte. :-)

anonymous

00:32 Uhr, 14.02.2013

Nullstellen

f (x) = 2 \cdot x^{2} \cdot e^{- x}

f (x) = 0

Die Funktionsgleichung ist ein Produkt aus

2 \cdot x^{2}

und

e^{- x}

. Ein Produkt nimmt dann den Wert 0 an, wenn entweder der erste oder der zweite Faktor 0 ist.
Da aber

e^{- x}

niemals 0 werden kann

\Rightarrow 2 \cdot x^{2} = 0 \Rightarrow x = 0

Die einzige Nullstelle unserer Funktion ist

N (0 | 0)

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00:40 Uhr, 14.02.2013

Danke für deine Antwort und das Du nochmal vorbeigeschaut hast. :-)
Okay, das habe ich dann verstanden. Aber gibt es nun wirklich noch einen Hochpunkt? GeoGebra sagt, bei {-1 | 5,4366} soll es einen geben.. *grübel*

Für den Wendepunkt hätte ich nun den ebenfalls den Punkt {0|0} errechnet. Stimmt das?

anonymous

00:41 Uhr, 14.02.2013

Hoch- und Tiefpunkt

f' (x) = e^{- x} \cdot (4 \cdot x - 2 \cdot x^{2})

f' (x) = 0

Aus den selben Überlegungen wie vorher

\Rightarrow 4 \cdot x - 2 \cdot x^{2} = 0

2 \cdot x \cdot (2 - x) = 0

x_{1} = 0

x_{2} = 2

Überprüfung durch die zweite Ableitung

f'' (x) = e^{- x} \cdot (2 \cdot x^{2} - 8 \cdot x + 4)

f'' (0) = e^{0} \cdot 4 = 4 > 0 \Rightarrow x = 0

Tiefpunkt

f' (2) = e^{- 2} \cdot (2 \cdot 4 - 8 \cdot 2 + 4) = e^{- 2} \cdot (- 4) < 0 \Rightarrow x = 2

Hochpunkt
Den dazugehörigen y-Wert aus der Funktionsgleichung bestimmen.

Mathebloeder aktiv_icon

00:50 Uhr, 14.02.2013

Wenn ich das richtig verstehe, habe ich einen grundlegenden Fehler beim einsetzen gemacht.
Ich dachte, man geht so vor:

- Ableitungen bestimmen
- Von der 1. Ableitung die Nullstellen suchen
- Die Nullstellen der 1. Ableitung in die 2. Ableitung einsetzen um ein hinreichendes Kriterium für die Extrempunkte zu finden.
- Und dann schließlich den y-Wert der Extrempunkte berechnen, indem man die Nullstelle(n) der 1. Ableitung in die ursprüngliche Funktion einsetzt.

Für die Wendepunkte:
- Die Nullstellen der 2. Ableitung in die ursprüngliche Funktion Einsetzen um den y-Wert zu errechnen.

Ist dieses Vorgehen falsch?? Denn Du hast ja die Nullstellen der 1. Ableitung in die 2. Albleitung eingesetzt oder verstehe ich da was nicht?

anonymous

00:51 Uhr, 14.02.2013

Und abschließend die Wendepunkte.

f'' (x) = e^{- x} \cdot (2 \cdot x^{2} - 8 \cdot x + 4)

f'' (x) = 0

\Rightarrow 2 \cdot x^{2} - 8 \cdot x + 4 = 0

x_{1} = 2 + \sqrt{2}

x_{2} = 2 - \sqrt{2}

Die dazugehörigen y-Werte aus der ursprünglichen Funktionsgleichung berechnen.

anonymous

00:56 Uhr, 14.02.2013

Graph

Mathebloeder aktiv_icon

01:01 Uhr, 14.02.2013

Vielen Dank! :-)

Nur, ist mein Vorgehen (aus dem vorherigen Post) so tatsächlich falsch?
Denn bei den "normalen Funktionen" wie z.B - f(x) = x³ - 2x² - geht man doch nach diesem Schema vor oder ist das bei Exponential Funktionen anders?

anonymous

01:08 Uhr, 14.02.2013

Dein Vorgehen ist richtig. Der Begriff "Nullstelle" der ersten Ableitung ist ein wenig irreführend ( wenn auch richtig ).
Besser: Nullstellen der Funktion.
Erste Ableitung 0 setzen, liefert die Stelle

(=

x-Wert ) von möglichen Hoch- bzw. Tiefpunkten.
Zur Unterscheidung in zweite Ableitung einsetzen.
Zweite Ableitung 0 setzen, liefert die Stelle

(=

x-Wert ) von möglichen Wendepunkten.
Wenn man es ganz genau nimmt müsste man auch noch die dritte Ableitung bilden zur Überprüfung der Wendepunkte.

Für ALLE y-Werte von Hoch-, Tief- und Wendepunkte setzt man den x-Wert in die ursprüngliche Funktionsgleichung ein.
Du hast also recht.

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01:11 Uhr, 14.02.2013

Das hätte jetzt auch mein komplettes Mathe-Weltbild über den Kopf geworfen. :-D)

Vielen, vielen Dank für deine Hilfe und Geduld Goedel! Das sollte es dann ersteinmal gewesen sein.
Ich wünsche noch einen angenehmen Abend. :-)

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01:11 Uhr, 14.02.2013

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01:11 Uhr, 14.02.2013

anonymous

01:13 Uhr, 14.02.2013

"Wolfram" erspart zwar nicht das Rechnen, dient aber gut der Überprüfung.
http://www.wolframalpha.com/input/?i=derivate+x^2

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