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Kurvendiskussion einer Funktion 4. Grades

Schüler Gymnasium, 11. Klassenstufe

Extremwerte

Lage der Extremwerte

Nullstellen

Terrassenpunkt (Sattelpunkt)

Tiefpunkt (Minimum)

Hochpunkt (Maximum)

Tags: (Maximum), (Minimum), (Sattelpunkt), Extremwert, Grad, Hochpunkt, Kurvendiskussion, Lage der Extremwerte, Nullstellen, Terrassenpunkt, Tiefpunkt

JeanArr aktiv_icon

15:38 Uhr, 10.05.2010

Hallo Forum ,
Ich schreibe am Mittwoch in Mathematik ne Kursarbeit und hab bezüglich der Kurvendiskussion noch einige Fragen.

Insbesondere beim herausfinden von Null- und Extremstellen von Funktionen mit einem höheren Grad als 2. Ich hab grade eben noch fleißig gelernt aber scheitere immer wieder am selben Punkt.
Eine der Aufgaben

z . B

f (x) = - x^{4} + 5 x^{2} - 4

Mit Ableitung und hinreichenden Kriterien hab ich kein Problem.
Nullstellen:

f (x) = 0

Extremstellen:

f' (x) = 0

Hoffe auf Hilfe und Erklärungen. Danke im Voraus Jan.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Nullstellen (Mathematischer Grundbegriff)
Vielfachheit einer Nullstelle (Mathematischer Grundbegriff)
Kurvendiskussion (Mathematischer Grundbegriff)
Extrema (Mathematischer Grundbegriff)
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Allgemeine Exponentialfunktion - Fortgeschritten
Allgemeine Sinusfunktion
Extrema / Terrassenpunkte
Nullstellen
Nullstellen bestimmen

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Shipwater aktiv_icon

15:40 Uhr, 10.05.2010

Für die Nullstellen: Substitution
Für die Extremstellen:

x

ausklammern und dann Nullproduktsatz

JeanArr aktiv_icon

16:10 Uhr, 10.05.2010

Danke für die schnelle Antwort erstmal.

Das mit dem

x

Ausklammern weis ich aber wie das geht hab ich keine Ahnung.
Und über Substitution weis ich auch nix bzw vllt kenn ichs unter einem anderen Namen.
Ich hoffe du kannst mir erklären wie das speziel bei dieser Aufgabe geht.

vulpi aktiv_icon

16:49 Uhr, 10.05.2010

Hi, nochmal etwas plastischer:

- x^{4} + 5 \cdot x^{2} - 4 = 0 \Leftrightarrow x^{4} - 5 x^{2} + 4 = 0

Hier hast du KEINE ungeraden Potenzen von

x

dabei , also keine

x

und

x^{3}

-Glieder
In so einem Fall hast du eine quadratische Gleichung bezügl.

x^{2}

gegeben.

{[x^{2}]}^{2} - 5 [x^{2}] + 4 = 0

Jetzt könntest du die Lösungen für

{[x^{2}]}_{1,2}

per pq-Formel eruieren.

Um aber den Wald vor Bäumen noch sehen zu können, ist es angeraten, dem

[x^{2}]

'nen eigenen Formelbuchstaben zu verpassen.(Substitution)
Also

z := x^{2},

dann lautet die Gleichung

z^{2} - 5 z + 4 = 0

Da bestimmst du die bis zu 2 Lösungen

z_{1}, z_{2}

Damit hast du aber die gesuchten

x_{1} - x_{4}

noch nicht.
Die bekommst du da dann per Rücksubstitution:

z = x^{2} \Rightarrow x = \pm \sqrt{z}

für

z_{i}

undefiniert oder

< 0

gibt es keine Lösung für

x

.
für

z_{i} \geq 0

gibt es 2 Lösungen für

x_{1,2} = \pm \sqrt{z_{i}}

mfg

Shipwater aktiv_icon

16:53 Uhr, 10.05.2010

de.wikipedia.org/wiki/Substitution_%28Mathematik%29
http//de.wikipedia.org/wiki/Ausklammern

JeanArr aktiv_icon

18:27 Uhr, 10.05.2010

Danke für die Erklärung. Hat mir echt geholfen.

Mfg Jan

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