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Maximale Krümmung eines Polynoms - paradox?
Universität / Fachhochschule
Polynome
Funktionalanalysis
Tags: Ableitung, Funktionalanalysis, Krümmung, Maximum, Paradoxon, Polynom Grad
 
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Folgender Widerspruch: - die zweite Ableitung gibt die Krümmung an; wenn ich den Punkt maximaler Krümmung suche, suche ich also das Maximum der zweiten Ableitung, sprich eine Nullstelle der dritten; - bei einem Polynom dritten Grades ist die zweite Ableitung linear, die dritte konstant; also: es gibt keine Nullstelle der dritten Ableitung und: die zweite Ableitung wird maximal für Aber: die Krümmung eines Polynoms kann mit steigendem nicht immer weiter zunehmen (wenn man mal an allen besonderen Punkten "vorbei" ist); Das passt also nicht zusammen. Ich weiß bei bestem Willen nicht, was der Fehler ist... Intuitiv würde ich behaupten, die Krümmung eines Polynoms ist an den Extremata maximal, aber das passt mit dem obigen wieder eh nicht zusammen...] Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich benötige bitte nur das Ergebnis und keinen längeren Lösungsweg." |
| Hierzu passend bei OnlineMathe: Wendepunkte (Mathematischer Grundbegriff) Extrema (Mathematischer Grundbegriff) Ableitung (Mathematischer Grundbegriff) Differenzenquotient (Mathematischer Grundbegriff) Differenzierbarkeit (Mathematischer Grundbegriff) Ableitung einer Funktion an einer Stelle (Mathematischer Grundbegriff) Ableitungsfunktion (Mathematischer Grundbegriff) Ableitungsregeln (Mathematischer Grundbegriff) Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de: Ableiten mit der h-Methode Ableitungsregeln für Polynomfunktionen Extrema / Terrassenpunkte Kettenregel Ableiten mit der h-Methode Ableitungsregeln für Polynomfunktionen Extrema / Terrassenpunkte Kettenregel |
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Hallo, zwei Fehler unterlaufen dir: 1. - die zweite Ableitung gibt die Krümmung an; wenn ich den Punkt maximaler Krümmung suche, suche ich also das Maximum der zweiten Ableitung, sprich eine Nullstelle der dritten; Das ist nur teilweise richtig. Wie man die Krümmung berechnet, dazu lies dir de.wikipedia.org/wiki/Kr%C3%BCmmung durch! 2. - bei einem Polynom dritten Grades ist die zweite Ableitung linear, die dritte konstant; also: es gibt keine Nullstelle der dritten Ableitung und: die zweite Ableitung wird maximal für x→∞ Auch hier nur eine Teilwahrheit. Ja, die dritte Ableitung eines Polynoms dritten Grades ist konstant, . aber, dass für $x\to\infty$ eben auch nur dann 0 erreicht wird, wenn die dritte Ableitung konstant verschwindet. Dies beachtend, welche Paradoxa bleiben noch? Mfg Michael |
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Erstmal Danke für die schnelle Antwort! Gegen die zweite "Teilwahrheit" will ich mich verwehren :-) Die Überlegung war: wenn dritte Ableitung konstant ist, müsste es eine Art "Randlösung" geben, also schaue ich das absolute Maximum der zweiten Ableitung an, das im Unendlichen liegt, was aber mit dem Verlauf eines Polynoms nicht vereinbar ist... Aber: es ist also so, dass die 2. Ableitung nicht die Krümmung "ist", sondern lediglich das Vorzeichen der 2. Ableitung dem "Vorzeichen" (im Sinne von links- oder rechtsgekrümmt) der Krümmung entspricht. Damit bleibt natürlich kein Widerspruch (was ja auch zu erwarten war). Interessant... |
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