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Zeltvolumen als Funktion. Max. Volumen

Schüler Fachoberschulen, 12. Klassenstufe

Tags: Ableitung, Differentialrechnung, Extremwert, Funktion, Maximal, Volumen, Zeltvolumen

HakanHH aktiv_icon

12:06 Uhr, 21.10.2009

Hallo, Ich habe ein Problem mit dieser Aufgabe(siehe unten Bilder) ich komme nicht weiter.
Den Aufgabenzettel und meinen Lösüngsansatz hab ich unten bei den Bildern eingefügt.
Ich wäre sehr dankbar wenn jemand mir helfen könnte.

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Edddi aktiv_icon

12:41 Uhr, 21.10.2009

...Fakt ist: Das Volumen ist einzigst von

x

abhängig.

Zur Volumenberechnung zerlege ich das Dach in ein Prisma mit

h = 5

und Grundfläche des dreieckigen Querschnitts des Zeltes.

Die Höhe des Zeltes bekommen wir über den Pythagoras zu:

h = \sqrt{25 - 1,21 - \frac{x - 5}{2}}

Damit haben wir für's Prisma also:

V_{1} = \frac{2,2 \cdot h}{2} \cdot 5 = \frac{11}{2} \cdot h = \frac{11}{2} \cdot h

Der Restkörper bildet eine Pyramide mit Höhe

h

und Grundfläche von

(x - 5) \cdot 2,2

V_{2} = \frac{1}{3} \cdot (x - 5) \cdot 2,2 \cdot h = \frac{22}{30} \cdot (x - 5) \cdot h

Somit haben wir als Gesamtvolumen:

V_{G} (x) = V_{1} + V_{2} = \frac{11}{2} \cdot h + \frac{22}{30} \cdot (x - 5) \cdot h = h \cdot (\frac{11}{2} + \frac{22}{30} \cdot (x - 5))

V_{G} (x) = \sqrt{25 - 1,21 - \frac{x - 5}{2}} \cdot (\frac{11}{2} + \frac{22}{30} \cdot (x - 5))

...dies wird maximal für

V_{G}' (x) = 0

V_{G}' = \frac{22}{30} \cdot \sqrt{25 - 1,21 - \frac{x - 5}{2}} - \frac{\frac{11}{2} + \frac{22}{30} \cdot (x - 5)}{4 \cdot \sqrt{25 - 1,21 - \frac{x - 5}{2}}} = 0

\frac{22}{30} \cdot {[\sqrt{25 - 1,21 - \frac{x - 5}{2}}]}^{2} - (\frac{11}{2} + \frac{22}{30} \cdot (x - 5)) = 0

\frac{22}{30} \cdot (25 - 1,21 - \frac{x - 5}{2}) - (\frac{11}{2} + \frac{22}{30} \cdot (x - 5)) = 0

\frac{22}{30} \cdot 25 - \frac{22}{30} \cdot 1,21 - \frac{22}{30} \cdot \frac{x - 5}{2} - \frac{11}{2} - \frac{22}{30} \cdot (x - 5) = 0

\frac{22}{30} \cdot 25 - \frac{22}{30} \cdot 1,21 - \frac{22}{30} \cdot \frac{x - 5}{2} - \frac{11}{2} - \frac{22}{30} \cdot x + \frac{22}{30} \cdot 5 = 0

\frac{22}{30} \cdot 25 - \frac{22}{30} \cdot 1,21 - \frac{11}{30} x + \frac{55}{30} - \frac{11}{2} - \frac{22}{30} \cdot x + \frac{22}{30} \cdot 5 = 0

\frac{22}{30} \cdot 25 - \frac{22}{30} \cdot 1,21 + \frac{55}{30} - \frac{11}{2} + \frac{22}{30} \cdot 5 = \frac{11}{30} \cdot x + \frac{22}{30} \cdot x

22 \cdot 25 - 22 \cdot 1,21 + 55 - 11 \cdot 15 + 22 \cdot 5 = 33 \cdot x

550 - 26,62 + 55 - 165 + 110 = 33 \cdot x

550 - 26,62 + 55 - 165 + 110 = 33 \cdot x

523,38 = 33 \cdot x

15,86 = x

Nun haben wir

x

...jetzt berechnen wir die Höhe

h :

h = \sqrt{25 - 1,21 - \frac{15,86 - 5}{2}}

h = \sqrt{25 - 1,21 - \frac{10,86}{2}}

h = \sqrt{25 - 1,21 - 5,43}

h = \sqrt{18,36}

h = 4,28485 ...

...das ist mein Ergebnis für

h!

;-)

HakanHH aktiv_icon

13:41 Uhr, 21.10.2009

Wow danke Edddi für die schnelle Antwort.
Ich komme bis "...dies wird maximal für VG'(x)=0" mit, nur danach kann ich das nicht mehr nachvollziehen. Könntest du vielleicht deine nächsten 2-3 Schritte nochmal genauer erläutern?

Edddi aktiv_icon

13:58 Uhr, 21.10.2009

...das find' ich gut, das du versuchst meinen Rechenweg nachzuvollziehen...vielleicht hab' ja auch ich irgendwo einen Patzer drin...mach' das ja schließlich neben meiner Arbeit.

Also:

V_{G} (x) = \sqrt{25 - 1,21 - \frac{x - 5}{2}} \cdot (\frac{11}{2} + \frac{22}{30} \cdot (x - 5))

V_{G} (x) = \sqrt{25 - 1,21 - \frac{x}{2} + \frac{5}{2}} \cdot (\frac{11}{2} + \frac{22}{30} \cdot x - \frac{110}{30})

mittels

V' = (u \cdot v)' = u' \cdot v + u \cdot v'

bilde ich die Ableitung:

V_{G}' (x) = [\sqrt{25 - 1,21 - \frac{x}{2} + \frac{5}{2}}]' \cdot (\frac{11}{2} + \frac{22}{30} \cdot x - \frac{110}{30}) + \sqrt{25 - 1,21 - \frac{x}{2} + \frac{5}{2}} \cdot [(\frac{11}{2} + \frac{22}{30} \cdot x - \frac{110}{30})]'

V_{G}' (x) = [\sqrt{25 - 1,21 - \frac{x}{2} + \frac{5}{2}}]' \cdot (\frac{11}{2} + \frac{22}{30} \cdot x - \frac{110}{30}) + \sqrt{25 - 1,21 - \frac{x}{2} + \frac{5}{2}} \cdot \frac{22}{30}

V_{G}' (x) = [\sqrt{25 - 1,21 - \frac{x}{2} + \frac{5}{2}}]' \cdot (\frac{11}{2} + \frac{22}{30} \cdot x - \frac{110}{30}) + \frac{22}{30} \cdot \sqrt{25 - 1,21 - \frac{x}{2} + \frac{5}{2}}

die Ableizung des Wurzelterms mittels Kettenregel:

(u (v))' = u' (v) \cdot v'

für einen Wurzelterm wird also:

\sqrt{f (x)}' = [{f (x)}^{\frac{1}{2}}]' = \frac{1}{2} \cdot {f (x)}^{(\frac{1}{2} - 1)} \cdot f' (x) = \frac{1}{2} \cdot {f (x)}^{(- \frac{1}{2})} \cdot f' (x) = \frac{1}{2 \cdot {f (x)}^{(\frac{1}{2})}} \cdot f' (x) = \frac{1}{2 \cdot \sqrt{f (x)}} \cdot f' (x)

somit erhalte ich für

[\sqrt{25 - 1,21 - \frac{x}{2} + \frac{5}{2}}]'

= \frac{1}{2 \cdot \sqrt{25 - 1,21 - \frac{x}{2} + \frac{5}{2}}} \cdot - \frac{1}{2} = - \frac{1}{4 \cdot \sqrt{25 - 1,21 - \frac{x}{2} + \frac{5}{2}}}

somit:

V_{G}' (x) = [\sqrt{25 - 1,21 - \frac{x}{2} + \frac{5}{2}}]' \cdot (\frac{11}{2} + \frac{22}{30} \cdot x - \frac{110}{30}) + \frac{22}{30} \cdot \sqrt{25 - 1,21 - \frac{x}{2} + \frac{5}{2}}

V_{G}' (x) = - \frac{1}{4 \cdot \sqrt{25 - 1,21 - \frac{x}{2} + \frac{5}{2}}} \cdot (\frac{11}{2} + \frac{22}{30} \cdot x - \frac{110}{30}) + \frac{22}{30} \cdot \sqrt{25 - 1,21 - \frac{x}{2} + \frac{5}{2}}

V_{G}' (x) = - \frac{\frac{11}{2} + \frac{22}{30} \cdot x - \frac{110}{30}}{4 \cdot \sqrt{25 - 1,21 - \frac{x}{2} + \frac{5}{2}}} + \frac{22}{30} \cdot \sqrt{25 - 1,21 - \frac{x}{2} + \frac{5}{2}}

...da

V_{G}' (x) = 0

sein soll, kannst du alles mit dem Wurzelterm im Nenner multiplizieren.

Beim ersten Summanden verschwindet er dann, dan zweiten Summanden löst sich dann die Wurzel auf....

...und schon seh' ich, das ich den Quotienten 4 im 2. Summanden verschludert hab'...rechne also nochmal schön nach...

;-)

HakanHH aktiv_icon

19:09 Uhr, 21.10.2009

Vielen Dank nochmal Edddi für deine Mühe.
Deinen Lösüngsweg habe ich so wie du es beschrieben hast verstanden und versucht auch es so umzusetzten(siehe Bild), nur die Lösung scheint mir unwahrscheinlich zu sein
x=34,22 das ist zu viel. Ich habe es auch immer wieder aufs neue gerechnet ohne Erfolg.
Kann jemand das Ergebnis bestätigen oder mein Fehler finden?

Mein Lösungweg ist auf dem Bild zu sehen, extra schön geschrieben.

Edddi aktiv_icon

06:22 Uhr, 22.10.2009

...nun...wenn du den Rechenweg verstanden, und es auch nochmal kontrolliert hast, sollte es auch stimmen.

Zur Kontrolle kann man ja mal

V_{G} (x)

in eine Funktionsplotter eingeben...hab' ich gemacht, und die Extremstelle für's Volumen deckt sich mit deinem Ergebnis.

(Ich kann dir WZGrapher empfehlen - läuft ohne Installation direkt aus einer Datei)

Es könnte jetzt nur noch sein, das wir einen Fehler in der Volumenformel

V_{G} (x)

haben.

Allerdings dürfte

x

nicht größer sein als

3 \cdot a = 15,

da sonst das 5m-Gestänge nicht mehr reichen würde...

...ich schau nochmal drüber und melde mich nachher nochmal dazu

...so...jetzt hab' ich's.

Es war noch ein Schusselfehler in der Herleitung der Höhe drin.

Richtig ist:

h = \sqrt{(25 - 1,21) - {(\frac{x - 5}{2})}^{2}} = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{70,16 - x^{2} + 10 x}

Somit haben wir für

V_{G} (x) = \frac{2,2 \cdot h}{2} \cdot 5 + \frac{1}{3} \cdot (x - 5) \cdot 2,2 \cdot h

V_{G} (x) = h \cdot (\frac{55}{30} - \frac{22}{30} \cdot x)

V_{G} (x) = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{70,16 - x^{2} + 10 x} \cdot (\frac{55}{30} + \frac{22}{30} \cdot x)

...mit der Volumenfunktion bekommst du dann auch ein realistisches und korrektes Ergebnis

so long

;-)

HakanHH aktiv_icon

10:30 Uhr, 22.10.2009

Wow wie konnte ich das Quadrat da vergessen boah.
Vielen Dank ich rechne es so nach.
Danke dir nochmals für die Mühe.

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