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logistisches Wachstum

Schüler Gymnasium, 12. Klassenstufe

Tags: Ableitung, Wachstum, Wachstumsgeschwindigkeit, Wachstumsprozess

Schmetterling10 aktiv_icon

15:49 Uhr, 25.11.2011

Hallo Leute!
wir haben momentan das Thema das logistischen Wachstum und sollen das zu Hause üben, jedoch habe ich nur Ansätze und komme einfach nicht weiter

\frac{:}{}

In der Aufgabe geht es um einen Teich mit Fröschen, die sich ausbreiten,

f (x)

gibt die Zahl der Frösche an und

x

in Jahren.
Die Funktion lautet:

f (x) = \frac{400}{4 + 96 \cdot e^{- 0,4 \cdot x}}

b)

Berechne:

(1)

Wie viele Frösche zu Beginn ausgesetzt wurden

(2)

mit wie vielen Fröschen haben die Biolehrer nach sehr lange Zeit maximal zu rechnen

c)

(1)

erste Ableitung bestimmen
sie ist schon angegeben, aber ich komme immer wieder trotz der Quotientenregel auf das falsche Ergebnis, das Richtige müsste so aussehen:

f' (x) =

960*e^(-0,4*x)/(e^(0,4x)+24)²

d)

Ab einem bestimmten Zeitpunkt erfährt die Vermehrung der Frösche eine gewisse Trendwende. Was ist hierunter inhaltlich zu verstehen und wieso ist eine solche Trendwende pausibel? Bestimmen Sie den Zeitpunkt dier Trendwende exakt! (die zweite Ableitung ist angegeben, nur was soll ich damit anstellen?

Danke im vorraus und hoffe auf schnelle Antworten!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Exponentielles Wachstum (Mathematischer Grundbegriff)
Ableitung (Mathematischer Grundbegriff)
Differenzenquotient (Mathematischer Grundbegriff)
Differenzierbarkeit (Mathematischer Grundbegriff)
Ableitung einer Funktion an einer Stelle (Mathematischer Grundbegriff)
Ableitungsfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
Ableitungsregeln (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Ableiten mit der h-Methode
Ableitungsregeln für Polynomfunktionen
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f' (x)

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DmitriJakov aktiv_icon

15:54 Uhr, 25.11.2011

Aufgabenteil

b)

setze für

x

einmal die Null ein und einmal

lim_{x \to \infty} x

Aufgabenteil

c)

Schreib hier mal auf wie Du bei der Quotientenregel vorgegangen bist

Aufgabenteil

d)

Setze die 2. Ableitung gleich Null, denn Du sollst ja den Wendepunkt bestimmen.

Schmetterling10 aktiv_icon

16:08 Uhr, 25.11.2011

hey, super fü die schnelle antwort :-) habe mi das schon so ungefähr gedacht, war mir aber sehr unsicher

zu der Ableitung:
die regel lautet ja : u(x)'*v(x)-v(x)*u(x)/v²

bezogen auf die aufgabe müsste es doch lauten:

f (x) = \frac{0 \cdot (4 + 96 \cdot e^{- 0,4 \cdot x}) - (0 \cdot e^{- 0,4 \cdot x}) \cdot (- 0,4) \cdot 400}{4 + 96 \cdot e^{- 0,4 \cdot x}}

(4+96*e^(-0,4*x))unten natülich hoch 2 genommen

jetzt müsste man doch eigentlich

- 0,4

mit

400

multiplizieren und das bleibt dann nur übig, da das andere wegen der 0 null ergibt!?

DmitriJakov aktiv_icon

16:23 Uhr, 25.11.2011

So, wie Du es hingeschrieben hast wäre im Zähler

0 - 0 = 0

Und nur zur Sicherheit: die Quotientenregel lautet

\frac{u' v - u v'}{u^{2}}

. Du hast einmal das

v'

vergessen.

In Deiner Ableitung geht es genau um diese

v'

. Die Ableitung von

v (x) = 4 + 96 \cdot e^{- 0,4 x}

lautet:

v' (x) = 0 + 96 \cdot e^{- 0,4 x} \cdot (- 0,4)

insgesamt kommt also heraus:

f' (x) = \frac{0 \cdot (4 + 96 e^{- 0,4 x}) - 400 \cdot (0 + 96 \cdot e^{- 0,4 x} \cdot (- 0,4))}{{(4 + 96 e^{- 0,4 x})}^{2}}

f' (x) = \frac{15360 \cdot e^{- 0,4 x}}{{(4 + 96 e^{- 0,4 x})}^{2}}

Schmetterling10 aktiv_icon

16:36 Uhr, 25.11.2011

aber wieso bleibt denn bei

v'

das

96

stehen? die ableitung von

96

ist doch genauso wie bei

4 = 0

oder nicht?

das endergebnis müsste im zähler jedoch

960

ergeben, wie am AB zur Kontrolle angegeben. das

e^{- 0,4 \cdot x}

im zähler wird positiv, was ich auch nicht verstehe!

DmitriJakov aktiv_icon

16:43 Uhr, 25.11.2011

Die

96

bleibt stehen, denn das ist die Faktorregel:

z . B

. bei

f (x) = 3 x^{2}

wird

f' (x) = 3 \cdot 2 \cdot x = 6 x

Auch hier bleibt die 3 erhalten.

Und das Ergebnis Deines TR ist richtig, genauso wie mein Ergebnis. Nur dass eben Dein TR das Ergebnis so umgeformz hat, das der negative Exponent verschwindet. Diese Umformung habe ich mir erspart.

Schmetterling10 aktiv_icon

16:54 Uhr, 25.11.2011

ah, ok das habe ich jetzt verstanden, nur wieso kommt da

15350

raus obwohl da

960

rauskommen müsste?

DmitriJakov aktiv_icon

17:16 Uhr, 25.11.2011

Das habe ich Dir grade erklärt. Aber halt dann ausführlich:

\frac{15360 \cdot e^{- 0,4 x}}{{(4 + 96 \cdot e^{- 0,4 x})}^{2}}

= \frac{15360}{{(4 + 96 \cdot e^{- 0,4 x})}^{2} \cdot e^{0,4 x}}

= \frac{15360}{(16 + 2 \cdot 4 \cdot 96 e^{0,4 x} + {(e^{- 0,4 x})}^{2}) \cdot e^{0,4 x}}

= \frac{15360}{16 \cdot e^{0,4} x + 2 \cdot 4 \cdot 96 + e^{- 0,4 x}}

= \frac{15360}{16 \cdot e^{0,4} x + 2 \cdot 4 \cdot 96 + \frac{1}{e^{0,4 x}}}

= \frac{15360}{\frac{16 {(e^{0,4 x})}^{2} + 2 \cdot 4 \cdot 96 e^{0,4 x} + 1}{e^{0,4 x}}}

= \frac{15360 \cdot e^{0,4 x}}{16 {(e^{0,4 x})}^{2} + 2 \cdot 4 \cdot 96 e^{0,4 x} + 1}

= \frac{960 \cdot e^{0,4 x}}{{(e^{0,4 x})}^{2} + 2 \cdot 4 \cdot 6 e^{0,4 x} + \frac{1}{16}}

Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.

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