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Differenzierbarkeit im Mehrdimensionalen

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Differentiation

Tags: Ableitung, Differentiation, Differenzierbarkeit, Grenzwert, Jacobi Matrix, Mehrdimensional, mehrdimensionale Analysis, Mehrdimensionale Funktion

johnmath aktiv_icon

21:34 Uhr, 16.06.2017

Guten Abend alle zusammen :-),

ich soll die zeigen, dass die folgende Funktion differenzierbar ist, aber dass die partiellen Ableitungen nicht stetig sind:

f : ℝ^{2} \to ℝ, f (x) = (x_{1}^{2} + x_{2}^{2}) s i n \frac{1}{\sqrt{x_{1}^{2} + x_{2}^{2}}}

für

x \neq 0

und

f (x) = 0

für

x = 0

.

Ich habe jetzt die partiellen Ableitungen ausgerechnet:

\partial_{1} f (x) = 2 x_{1} s i n \frac{1}{\sqrt{x_{1}^{2} + x_{2}^{2}}} - \frac{x_{1} c o s \frac{1}{\sqrt{x_{1}^{2} + x_{2}^{2}}}}{\sqrt{x_{1}^{2} + x_{2}^{2}}}

und

\partial_{2} f (x) = 2 x_{2} s i n \frac{1}{\sqrt{x_{1}^{2} + x_{2}^{2}}} - \frac{x_{2} c o s \frac{1}{\sqrt{x_{1}^{2} + x_{2}^{2}}}}{\sqrt{x_{1}^{2} + x_{2}^{2}}}

.

Jetzt kann man ja die Differenzierbarkeit komponentenweise überprüfen, was für beide Richtungen analog funktioniert. Dann sei

f_{1}

die erste Komponentenfunktion. Dann ist die Jacobi-Matrix

J f (a) = \partial_{1} f (a)

, da ich ja eindimensional arbeite. Wenn ich dann den Grenzwert

l i m_{x \to a} \frac{f (x) - f (a) - \partial_{1} f (a) (x - a)}{∣ ∣ x - a ∣ ∣_{2}}

bilde müsste ja eigentlich Null herauskommen, aber der Term mit dem Kosinus bleibt einfach immer übrig...

Hat jemand Tipps? Ich musste mein Blatt schon quer nehmen, das kann doch eigentlich nicht sein? Gibt es da andere Möglichkeiten?

Viele Grüße
johnmath

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
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Regel von l'Hospital (Mathematischer Grundbegriff)
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Differenzierbarkeit (Mathematischer Grundbegriff)
Ableitung (Mathematischer Grundbegriff)
Differenzenquotient (Mathematischer Grundbegriff)
Ableitung einer Funktion an einer Stelle (Mathematischer Grundbegriff)
Ableitungsfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
Ableitungsregeln (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

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korbinian aktiv_icon

17:46 Uhr, 17.06.2017

Hallo,

problematisch ist ja nur der Punkt (0/0).
Leider verstehe ich nicht was du mit komponentenweise meinst und welchen Grenzwert du bilden willst.
Ich kenne nur diese Definition
de.wikipedia.org/wiki/Totale_Differenzierbarkeit
Damit funktioniert´s auch.
gruß
korbinian

johnmath aktiv_icon

22:31 Uhr, 17.06.2017

Hallo korbinian,
ja diese Definition kenne ich auch, aber damit hat es nicht geklappt...
Soll ich dann eine Fallunterscheidung machen oder wie siehst du das?
Kann man so argumentieren, dass für

x \neq 0

die Funktion aus differenzierbaren Funktionen zusammengesetzt ist, oder?

Für

x = 0

ist ja dann der Rechenaufwand auch geringer. Dann wäre das Ganze gar nicht so schlimm.

Viele Grüße
johnmath

korbinian aktiv_icon

23:25 Uhr, 17.06.2017

Hallo johnmath,

ja, diese Fallunterscheidung würde ich machen.
1. Fall.
Für

(x_{1}, x_{2}) \neq (0 / 0)

ist f

s t e t i g

partiell diefferezierbar und damit (total) differenzierbar.
2. Fall.

(x_{1}, x_{2}) = (0 / 0)

Beweis der Differenzierbarkeit mit obiger Definition.
(Hab den Beweis noch nicht ordentlich aufgeschrieben; glaube aber, dass er nicht allzu schwer ist. Vermutlich L=0.)
Solltest du nicht klar kommen, melde dich noch einmal.
gruß
korbinian

johnmath aktiv_icon

11:00 Uhr, 18.06.2017

Hallo koribian,

vielen Dank! Ich denke, dass ich dann so machen werde.

Noch eine Frage:
Wenn

f : ℝ^{n} \to ℝ^{m}

eine differenzierbare Abbildung ist, dann ist

f

schon linear, wenn eine der Bedingungen

f (x + y) = f (x) + f (y)

und

λ f (x) = f (λ x)

erfüllt ist. Wie kann man das denn beweisen?

Sollte man dann jeweils eine der beiden Eigenschaften annehmen und die andere herleiten? Ich weiß noch nicht, wie man da die Differenzierbarkeit einbringen kann, evtl. einfach dadurch dass die Ableitung existiert?

Viele Grüße
johnmath

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