Mathematik online lernen im Mathe-Forum. Nachhilfe online

Startseite » Forum » Extrempunkte in Abhängigkeit von a

Extrempunkte in Abhängigkeit von a

Schüler Berufsoberschulen, 12. Klassenstufe

Graph einer Funktion

Ableitungsfunktion

1. Ableitung

2. Ableitung

Terrassenpunkt (Sattelpunkt)

Tiefpunkt (Minimum)

Hochpunkt (Maximum)

Extremwerte

Tags: Ableitung, Ableitungsfunktion, Extremwert, Graph einer Funktion, Hochpunkt (Maximum), Terrassenpunkt (Sattelpunkt), Tiefpunkt (Minimum)

kaddl

14:34 Uhr, 15.03.2015

Hallo,

ich habe ein paar Fragen zu einer Aufgabe...

Gegeben ist die Schar reeller Funktionen

f a (x) =

2ax^4

- \frac{4}{3} x^{3} - 3 a

mit

x, a E R; a

ungleich 0

Jetzt sollen Art und Lage des Extrempunktes in Abhängigkeit von a bestimmt werden und man soll zeigen, dass jede Funktion der Schar einen Terrassenpunkt besitzt.

Also ich habe die 1. Ableitung gebildet und davon die Nullstellen berechnet.
Dann hab ich eine doppelte Nullstelle bei

x 1,2 = 0

und die 3.Nullstelle bei

x 3 = \frac{1}{2} a

Als nächstes hab ich dann die 2. Ableitung gebildet und die Nullstellen der 1. Ableitung in diese eingesetzt.

Ich bekomme dann für fa

'' (\frac{1}{2} a) = 2 a

und würde dann eine Fallunterscheidung machen
1. Fall:

2 a < 0 \to

Maximum

\to

Hochpunkt
fa(2a) für

a < 0

fa(2a)

= 32^{5} - \frac{32}{a^{3}} - 3 a

(kann das sein?)

\to

HOP

(2 a; 32^{5} - \frac{32}{a^{3}} - 3 a)

2. Fall:

2 a > 0 \to

Minimum

\to

Tiefpunkt
fa(2a) für

a > 0

\to

TIP

(2 a; 32^{5} - \frac{32}{a^{3}} - 3 a)

Und für fa''(0)

= 0;

fa(O)

= - 3 a

T (0; - 3 a)

1.Ableitung und 2.Ableitung sind Null und 1.Ableitung ist eine doppelte Nullstelle, also ist an dieser Stelle kein Vorzeichenwechsel

\to

also kein Extremwert! oder????

Terrassenpunkt:

T (0; - 3 a)

fa'(0)

= 0;

fa''(0)

= 0;

fa'''(x) = 48ax

- 8

fa'''(0)

= - 8 \to - 8

ungleich

0 \to

Terrassenpunkt, da unabhängig von

a!!

Ich bin mir unsicher, ob meine Begründung richtig ist und ich weiß auch nicht, ob ich richtig gerechnet habe, kann mir jemand bitte erklären, warum es kein Extremwert ist wenn an dieser Stelle kein VZW stattfindet?

Danke schon mal...

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Kurvendiskussion (Mathematischer Grundbegriff)
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)
Ableitung (Mathematischer Grundbegriff)
Differenzenquotient (Mathematischer Grundbegriff)
Differenzierbarkeit (Mathematischer Grundbegriff)
Ableitung einer Funktion an einer Stelle (Mathematischer Grundbegriff)
Ableitungsfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
Ableitungsregeln (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Ableiten mit der h-Methode
Ableitungsregeln für Polynomfunktionen
Aus Funktionsgleichung Skizze erkennen
Aus Skizze Funktionsgleichung ablesen
Extrema / Terrassenpunkte
Kettenregel

Ableiten mit der h-Methode
Ableitungsregeln für Polynomfunktionen
Aus Funktionsgleichung Skizze erkennen
Aus Skizze Funktionsgleichung ablesen
Extrema / Terrassenpunkte

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

Ableiten mit der Kettenregel

Wie leitet man mit der Kettenregel ab?

Wie leitet man verkettete Funktionen ab?

Ableiten mit der Produktregel

Wie leitet man mit der Produktregel ab?

Wie leitet man das Produkt zweier Funktionen ab?

Ableiten mit der Quotientenregel

Wie leitet man mit der Quotientenregel ab?

Wie leitet man den Quotienten zweier Funktionen ab?

Ableiten von Exponentialfunktionen

Wie leitet man Exponentialfunktionen ab?

Ableiten von Logarithmusfunktionen

Wie leitet man Logarithmusfunktionen ab?

Ableitung an einer Stelle

Wie bestimmt man die Ableitung

f' (x)

einer Funktion

f (x)

an der Stelle

x_{0}

Ableitung der Umkehrfunktion einer Funktion

Wie leitet man die Umkehrfunktion einer Funktion ab?

Ableitung der trigonometrischen Funktionen

Wie lauten die Ableitungsfunktionen der Winkelfunktionen?

Wie lauten die Ableitungsfunktionen der trigonometrischen Funktionen?

Ableitung einer Polynomfunktion

Wie bestimmt man die Ableitung einer Polynomfunktion?

Ableitung einer Potenzfunktion mit ganzzahligem Exponenten

Wie bestimmt man die Ableitung einer Potenzfunktion mit ganzzahligem Exponenten?

Ableitung einer Summe zweier Funktionen

Wie bestimmt man die Ableitung einer Summe zweier Funktionen?

Ableitung eines Vielfachen einer Funktion

Wie bestimmt man die Ableitung eines Vielfachen einer Funktion?

Differenzenquotient berechnen

Wie wird der Differenzenquotient berechnet?

Differenzialquotient berechnen

Wie wird der Differenzialquotient berechnet?

Extrempunkte eines Funktionsgraphen

Wie bestimmt man die Extrempunkte eines Funktionsgraphen?

Graph der 1.Ableitung und der Ausgangsfunktion

Wie hängt der Graph der 1.Ableitung mit dem Graph der Ausgangsfunktion zusammen?

Graph einer Potenzfunktion interpretieren

Wie kann man am Funktionsgraphen erkennen, um welche Potenzfunktion es sich dabei handelt?

Graph einer Potenzfunktion zeichnen

Wie kann man den Graphen einer Potenzfunktion zeichen, wenn nur die Funktionsgleichung gegeben ist?

Graph einer allgemeinen Sinusfunktion zeichnen

Wie zeichnet man den Graphen einer allgemeinen Sinusfunktion?

Graphen der 1. und 2.Ableitung und Graph der Ausgangsfunktion

Wie hängen die Graphen der 1. und 2.Ableitung mit dem Graph der Ausgangsfunktion zusammen?

Herleitung: Ableitung der Kosinusfunktion

Wie leitet man die Kosinusfunktion ab?

Herleitung: Ableitung der Sinusfunktion

Wie leitet man die Sinusfunktion ab?

Herleitung: Ableitung der Tangensfunktion

Wie leitet man die Tangensfunktion ab?

Kurvendiskussion einer ganzrationalen Funktion 3. Grades

Wie führt man eine Kurvendiskussion einer ganzrationalen Funktion 3. Grades durch?

Kurvendiskussion einer ganzrationalen Funktion 5. Grades

Wie führt man eine Kurvendiskussion einer ganzrationalen Funktion 5. Grades durch?

Steckbriefaufgaben (mit Ableitung)

Wie löst man Steckbriefaufgaben?

Verschiebung einer Normalparabel

Was passiert wenn man eine Normalparabel in

x

oder y-Richtung verschiebt?

Was passiert mit dem Schaubild einer Normalparabel wenn man die Funktionsgleichung verändert?

Werner-Salomon aktiv_icon

16:32 Uhr, 15.03.2015

Hallo,

die Lösung für

x_{3}

der 1.Ableitung ist falsch.
Es ist

f_{a} ʹ (x) = 8 a x^{3} - 4 x^{2}

mit

x \neq 0

da bereits mit

x_{1, 2}

erledigt
Also

8 a x - 4 = 0

8 a x = 4

x = \frac{1}{2 a}

Für die 2.Ableitung ergibt sich dann an diesem Punkt

f_{a} ʺ (\frac{1}{2 a}) = \frac{2}{a}

zur Erklärung.
Um ein lokales Extremum zu erhalten müssen für einen Hochpunkt die Werte direkt links und rechts vom Extremum tiefer liegen. Wenn man von links kommt ist die Steigung in diesem Bereich also zwingend positiv und nach rechts hin wird sie negativ. Für einen Tiefpunkt ist die Überlegung gleich nur mit umgekehrtem Vorzeichen.
Also ändert sich damit für die Steigung (= 1.Ableitung) mit Durchgang durch ein Extremum in der Ausgangsfunktion zwingend das Vorzeichen, um ein lokales Extremum zu erzeugen.

Überlege Dir selbst mal, wie das bei einem Terassenpunkt aussieht.

Gruß
Werner

Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.

1223270

1223232

	Status: nicht eingeloggt	Noch nicht registriert?