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Links- und rechtseitige Ableitung

Universität / Fachhochschule

Differentiation

Grenzwerte

Tags: Ableitung, Differentiation, Grenzwert

Elgo77 aktiv_icon

16:56 Uhr, 19.01.2021

Guten Tag an alle,

ich komme bei folgendem Beweis nicht weiter und einen wirklichen Anhaltspunkt habe ich auch nicht.

Beweisen Sie die Aussage:
Die Funktion

f

ist genau dann in

x_{0}

differenzierbar, wenn links- und rechtsseitige
Ableitung von

f \in x_{0}

existieren und gleich sind.
Es gilt dann:

f^{'} (x_{0}) = f^{'} - (x_{0})

(linksseitig)

= f^{'} + (x_{0})

(rechtsseitig)

Der Prof. hat uns als Tipp gegeben, dass wir die Formel

f (x) = f (x_{0}) + A (x) \cdot (x - x_{0})

verwenden sollen, aber wirklich weiter hilft mir das nicht.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Grenzwert (Mathematischer Grundbegriff)
Regel von l'Hospital (Mathematischer Grundbegriff)
Wichtige Grenzwerte
Ableitung (Mathematischer Grundbegriff)
Differenzenquotient (Mathematischer Grundbegriff)
Differenzierbarkeit (Mathematischer Grundbegriff)
Ableitung einer Funktion an einer Stelle (Mathematischer Grundbegriff)
Ableitungsfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
Ableitungsregeln (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Ableiten mit der h-Methode
Ableitungsregeln für Polynomfunktionen
Extrema / Terrassenpunkte
Grenzwerte - Linksseitiger/rechtsseitiger Grenzwert an einer Polstelle
Grenzwerte - Verhalten im Unendlichen
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pwmeyer aktiv_icon

17:58 Uhr, 20.01.2021

Hallo,

das Problem bei dieser Aufgabe ist, auch das Selbstverständliche noch zu formulieren.

Ich gehe mal von dem Ansatz, den Du allerdings unvollständig formuliert hast, aus. Dann heißt "linksseitige Ableitung":

\forall x \in D, x < x_{0} : f (x) = f (x_{0}) + {f'}_{l} (x_{0}) (x - x_{0}) + r (x)

mit:

\frac{r (x)}{x - x_{0}} \to 0

für

x \to x_{0} -

(linksseitige Annäherung)

Und "rechtsseitige Ableitung":

\forall x \in D, x > x_{0} : f (x) = f (x_{0}) + {f'}_{r} (x_{0}) (x - x_{0}) + s (x)

mit:

\frac{s (x)}{x - x_{0}} \to 0

für

x \to x_{0} +

(rechtsseitige Annäherung)

Ist das so? Ist das klar? Oder habt Ihr das anders gemacht?

jedenfalls ist dann, wenn

{f'}_{l} (x_{0}) = {f'}_{r} (x_{0}) = : q

\forall x \in D : f (x) = f (x_{0}) + q \cdot (x - x_{0}) + h (x)

mit:

h (x) := r (x)

für

x < x_{0}

und

h (x) = s (x) > x_{0}

. Als in jedem Fall:

\frac{h (x)}{x - x_{0}} \to 0

für

x \to x_{0}

Das heißt:

f

ist im PUnkt

x_{0}

differenzierbar mit

f' (x_{0}) = q

.

Gruß pwm

Elgo77 aktiv_icon

18:10 Uhr, 21.01.2021

Ja genau, den Ansatz hatte ich vergessen hinzu zu fügen, mein Fehler.
Und vielen Dank für deine Antwort, jetzt kann ich endlich diese Aufgabe beenden. :-)

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