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Physik Maximale Reichweite

Schüler Gymnasium, 13. Klassenstufe

Ableitungsfunktion

1. Ableitung

absolutes Extremum

Hochpunkt (Maximum)

Extremwerte

Tags: (Maximum), Ableitung, Ableitungsfunktion, absolutes Extremum, Extremwert, Hochpunkt

Ihso92 aktiv_icon

08:34 Uhr, 05.10.2010

Hey Leute!

Ich suche die Funktion für die maximale Reichweite beim schiefen Wurf.
Ich hab die Formel für die Reichweite beim schiefen Wurf gegeben.

x(α)=〖v_0〗^2/g ∙ (cos⁡〖α〗 ∙ sin⁡〖α〗+cos⁡α √(sin^2⁡α+(2gh_0)/〖v_0〗^2

))

Nach dem Ableiten habe ich die Funktion gleich null gesetzt, um das Maximum zu finden:

x'(α)=〖v_0〗^2/g (cos^2⁡α-sin^2⁡α-sin⁡α∙√(sin^2⁡α+(2gh_0)/〖v_0〗^2 )+cos⁡α∙(2 sin⁡α∙cos⁡α)/(2√(sin^2⁡α+(2gh_0)/〖v_0〗^2

))) = 0

Am Schluss soll die Gleichung so aussehen:

cos⁡2α=(g∙h_0)/(g∙h_0+〖v_0〗^2 )

Ich habs schon mehrmals mit allen möglichen Varianten durchprobiert, aber ich komme nie auf das richtige Ergebnis. Habs im Anhang nochmal übersichtlicher angefügt.

Danke für schnelle Hilfe

Stefan

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Ableitung (Mathematischer Grundbegriff)
Differenzenquotient (Mathematischer Grundbegriff)
Differenzierbarkeit (Mathematischer Grundbegriff)
Ableitung einer Funktion an einer Stelle (Mathematischer Grundbegriff)
Ableitungsfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
Ableitungsregeln (Mathematischer Grundbegriff)
Extrema (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Ableiten mit der h-Methode
Ableitungsregeln für Polynomfunktionen
Extrema / Terrassenpunkte
Kettenregel

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Edddi aktiv_icon

11:08 Uhr, 05.10.2010

Funktion des schiefen Wurfs mit Anfangsbedingung

φ_{0}, v_{0}, g

mit Vernachlässigung von

g (h) :

Um die Reichweite zu ermitteln, bestimmst du mit der horizotalen Geschwindigkeitskomponente den zuückgelegten Weg bis zum Aufprall:

s = v \cdot t

s = v_{0} \cdot cos (φ) \cdot t

Die Zeit ermitteln wir aus der zusammengesetzten gleichförmigen Bewegung der vertikalen V-Komponente und der gleichm. beschleunigten Bewegung (freien Fall mit g(h)=const):

So errechnet sich die Höhe in Abh. der Zeit zu:

h (t) = h_{V} (t) - h_{B} (t)

wobei ja:

h_{V} (t) = v_{0} \cdot sin (φ) \cdot t

h_{B} (t) = \frac{g}{2} \cdot t^{2}

Somit:

h (t) = v_{0} \cdot sin (φ) \cdot t - \frac{g}{2} \cdot t^{2}

Für

h = 0

sollte es nun 2 Lösungen geben, einmal

t = 0

(was sich durch Probe bestätigt) zum Zeitpunkt des Wurfanfangs und einmal eine Zeit

t,

bei der die Höhe wieder 0 wird (Aufprall).

Also suchen wir nun die 2. Lösung (einfache quadr. GL):

0 = v_{0} \cdot sin (φ) \cdot t - \frac{g}{2} \cdot t^{2}

0 = t \cdot (v_{0} \cdot sin (φ) - \frac{g}{2} \cdot t)

Hier sieht man schon unsere 1. Lösung mit

t = 0

Nun gibts noch:

v_{0} \cdot sin (φ) - \frac{g}{2} \cdot t = 0

v_{0} \cdot sin (φ) = \frac{g}{2} \cdot t

\frac{2 \cdot v_{0} \cdot sin (φ)}{g} = t

Diese Zeit setzen wir oben ein und erhalten für die Reichweite:

s = v_{0} \cdot cos (φ) \cdot t

s = v_{0} \cdot cos (φ) \cdot \frac{2 \cdot v_{0} \cdot sin (φ)}{g}

s (φ) = \frac{2 \cdot v_{0}^{2}}{g} \cdot cos (φ) \cdot sin (φ)

Für das Maximum muss

s' (φ) = 0

[cos (φ) \cdot sin (φ)]' = 0

cos (φ)' \cdot sin (φ) + cos (φ) \cdot sin (φ)' = 0

- sin (φ) \cdot sin (φ) + cos (φ) \cdot cos (φ) = 0

{cos}^{2} (φ) - {sin}^{2} (φ) = 0

{cos}^{2} (φ) = {sin}^{2} (φ)

1 = {tan}^{2} (φ)

1 = tan (φ)

φ = \frac{π}{4}

Maximum der reichweite unter oben genannten Bedingungen also bei

45

°.

Weiterhin erhält man, das

s (φ) = s (\frac{π}{2} - φ)

Also Reichweite bei 30° ist genausogroß wie bei 60° Abschusswinkel

;-)

Ihso92 aktiv_icon

15:55 Uhr, 05.10.2010

Danke für die schnelle und ausführliche Hilfe!

Mein Poblem ist aber, dass ich das Maximum der ganz oben genannten Funktion suche und die Gleichung unbedingt am Ende so aussehen muss:

cos

2α=(g∙h)/(g∙h+〖v〗^2 )

Ist das nachvollziehbar?

sfsde aktiv_icon

17:41 Uhr, 05.10.2010

Vll. findest Du ja hier.. de.wikipedia.org/wiki/Wurfparabel

das, was Du suchst.

Ihso92 aktiv_icon

18:25 Uhr, 05.10.2010

Das Ganze ist eher eine mathematisches Problem als ein physikalisches.

Ich suche KEINE neue Formel für die Reichweite.

Ich habe im Moment folgende Formel:

$x (α) = \frac{v²}{g} (\cos (α) \sin (α) + \cos (α) \sqrt{sin² (α) + \frac{2 g h}{v²}}$

Diese leite ich ab und setze sie gleich null:

$x^{'} (α) = \frac{v²}{g} (cos² (α) - sin² (α) - \sin (α) \sqrt{sin² (α) + \frac{2 g h}{v²}} + \cos (α) \frac{\sin (α) \cos (α)}{\sqrt{sin² (α) + \frac{2 g h}{v²}}})$

Nun muss ich diese UMFORMEN, um folgendes Ergebnis zu erhalten:

$\cos (2 α) = \frac{g h}{g h + v²}$

ENTSCHEIDEND IST NUR DER RECHENWEG, ich brauche kein neues Ergebnis!

Kann mir bitte dabei jemand behilflich sein?

pleindespoir aktiv_icon

01:59 Uhr, 06.10.2010

Irgendwo liegt hier wohl der Wurm in einer Verständnisfrage.

Bei dem üblichen idealen Wurf ohne Reibung und und Vernachlässigung aller anderen Realfaktoren ist der Idealabschusswinkel unabhängig von der Abschussgeschwindigkeit, Erdbeschleunigung und gar der Höhe.

Das Ergebnis, auf das du hinzurechnen versuchst, kann also kaum in diesem Sinne richtig sein.

Vielleicht postest du mal die komplette ungekürzte Aufgabenstellung im Zusammenhang - da wird eventuell klarer, was eigentlich gefragt ist.

Ihso92 aktiv_icon

07:52 Uhr, 06.10.2010

Hey pleindespoir!

Überlege dir nur einmal einen Kugestoßer. Dieser wirft in einer Höhe ca 1,5 - 2 m ab. Kugelstoßer müssen aufgrund ihrer Körpergröße einen anderen Winkel als 45° einhalten, 40,3° dagegen. Eine Kanone, die vom Boden abgefeuert wird, wird am besten in einem Winkel von 45° abgefeuert.

Um beim schiefen Wurf die maximale Reichweite zu erzielen, spielt die Abwurfhöhe immer eine Rolle, da der Körper zusätzlich eine Höhendifferenz zu überwinden hat, die den Abwurfwinkel von 45° abweichen lässt. Natürlich spielen bei einer Höhendifferenz dann auch Abwurfgeschwindigkeit und die Gravitation einer Rolle.

Bei der Aufgabenstellung war die oben genannte Funktion für x(a)=... gegeben

Dann wurde gesagt, die Funktion wurde differenziert und ein Maximum gesucht (also x'(a)=...=0)

Ausserdem wurde das Endergebnis cos(2a)=... vorgegeben.

Nun fehlen mir leider die Zwischenschritte von der ersten Ableitung zum Endergebnis.

Hilft das weiter?

Edddi aktiv_icon

08:41 Uhr, 06.10.2010

...stimmt, mit Höhendifferenz ergibt sich:

h (t) = h_{0} + h_{V} (t) - h_{B} (t)

h (t) = h_{0} + v_{0} \cdot sin (φ) \cdot t - \frac{g}{2} \cdot t^{2}

...diese 0 setzen:

h_{0} + v_{0} \cdot sin (φ) \cdot t - \frac{g}{2} \cdot t^{2} = 0

(\frac{2}{g}) \cdot h_{0} + (\frac{2 \cdot v_{0}}{g}) \cdot sin (φ) \cdot t - t^{2} = 0

t^{2} - (\frac{2 \cdot v_{0}}{g}) \cdot sin (φ) \cdot t - (\frac{2}{g}) \cdot h_{0} = 0

{(t - (\frac{v_{0}}{g}) \cdot sin (φ))}^{2} - {((\frac{v_{0}}{g}) \cdot sin (φ))}^{2} - (\frac{2}{g}) \cdot h_{0} = 0

{(t - (\frac{v_{0}}{g}) \cdot sin (φ))}^{2} = {(\frac{v_{0}}{g})}^{2} \cdot {sin}^{2} (φ) + (\frac{2}{g}) \cdot h_{0}

t - (\frac{v_{0}}{g}) \cdot sin (φ) = \pm \sqrt{{(\frac{v_{0}}{g})}^{2} \cdot {sin}^{2} (φ) + (\frac{2}{g}) \cdot h_{0}}

t - (\frac{v_{0}}{g}) \cdot sin (φ) = \pm \frac{\sqrt{v_{0}^{2} \cdot {sin}^{2} (φ) + 2 \cdot g \cdot h_{0}}}{g}

t = (\frac{v_{0}}{g}) \cdot sin (φ) \pm \frac{\sqrt{v_{0}^{2} \cdot {sin}^{2} (φ) + 2 \cdot g \cdot h_{0}}}{g}

...praktisch ist nur die positive Zeitlösung:

t = (\frac{v_{0}}{g}) \cdot sin (φ) + \frac{\sqrt{v_{0}^{2} \cdot {sin}^{2} (φ) + 2 \cdot g \cdot h_{0}}}{g}

Über

s = v_{0} \cdot cos (φ) \cdot t

s = v_{0} \cdot cos (φ) \cdot ((\frac{v_{0}}{g}) \cdot sin (φ) + \frac{\sqrt{v_{0}^{2} \cdot {sin}^{2} (φ) + 2 \cdot g \cdot h_{0}}}{g})

s = (\frac{v_{0}^{2}}{g}) \cdot cos (φ) \cdot sin (φ) + v_{0} \cdot cos (φ) \cdot \frac{\sqrt{v_{0}^{2} \cdot {sin}^{2} (φ) + 2 \cdot g \cdot h_{0}}}{g}

erhalten wir letztendlich dein nach

φ

abzuleitende Funktion:

s (φ) = (\frac{v_{0}^{2}}{g}) \cdot cos (φ) \cdot sin (φ) + (\frac{v_{0}^{2}}{g}) \cdot cos (φ) \cdot \sqrt{{sin}^{2} (φ) + \frac{2 \cdot g \cdot h_{0}}{v_{0}^{2}}}

...wenn sich keiner findet, der sie dir ableitet bzw. die rechenschritte bis zum Ergebnis zeigt, kann ich ja mal nach dem Frühstück rüberschaun.

;-)

Edddi aktiv_icon

08:55 Uhr, 06.10.2010

...nur noch kurz als Lösungsansatz, da du ja die Rechenschritte dazwischen möchtes:

In der Ausgangsgleichung liegen dir Terme wie

sin (φ)

und

cos (φ)

vor. Das Endergebnis ist dir mit einem Term

cos (2 \cdot φ)

gegeben.

Es deutet also darauf hin, das hir mittels trigonomischen Additionstheoremen vereinfacht wurde.

In diesem fall ist es dann wohl das Beste, den "Fall von hinten" aufzuräumen.

So wie:

cos (2 \cdot φ) = \frac{g \cdot h}{g \cdot h + v^{2}}

{cos}^{2} (φ) - {sin}^{2} (φ) = \frac{g \cdot h}{g \cdot h + v^{2}}

{cos}^{2} (φ) - {sin}^{2} (φ) - \frac{g \cdot h}{g \cdot h + v^{2}} = 0 = s' (φ)

{cos}^{2} (φ) \cdot (g \cdot h + v^{2}) - {sin}^{2} (φ) \cdot (g \cdot h + v^{2}) - (g \cdot h) = 0

{cos}^{2} (φ) \cdot \frac{g \cdot h + v^{2}}{v^{2}} - {sin}^{2} (φ) \cdot \frac{g \cdot h + v^{2}}{v^{2}} - \frac{g \cdot h}{v^{2}} = 0

{cos}^{2} (φ) \cdot (\frac{g \cdot h}{v^{2}} + 1) - {sin}^{2} (φ) \cdot (\frac{g \cdot h}{v^{2}} + 1) - \frac{g \cdot h}{v^{2}} = 0

{cos}^{2} (φ) \cdot \frac{g \cdot h}{v^{2}} + {cos}^{2} (φ) - {sin}^{2} (φ) \cdot \frac{g \cdot h}{v^{2}} - {sin}^{2} (φ) - \frac{g \cdot h}{v^{2}} = 0

...naja...und irgendwie so weiter..

ich mach' denn erstma Frühstück.

;-)

Ihso92 aktiv_icon

09:04 Uhr, 06.10.2010

Danke dir Edddi

Ich habe sie bereits abgeleitet und versucht durch alle möglichen Umformungen auf das richtige Ergebnis zu kommen. Leider bleibt meist irgendwo im Term eine Wurzel die man nicht wegbekommt oder ganz viele sinus und kosinus, die sich auch nicht entfernen lassen.

Ihso92 aktiv_icon

09:07 Uhr, 06.10.2010

omg du bist ein held

mit dem rückwärtsrechnen is ne super kluge idee.

bitter dass ich selber nich drauf gekommen bin...

des hilft mir echt weiter

da kann ich nochn bissl rumprobieren

bin trotzdem offen für weitere lösungsansätze ;)

danke dir

Yokozuna aktiv_icon

13:29 Uhr, 06.10.2010

Hallo,

nachdem Edddi wohl noch beim Frühstück ist und ich damit schon fertig bin, springe ich mal ein. Wir haben

$\cos^{2} (α) - \sin^{2} (α) - \sin (α) \cdot \sqrt{\sin^{2} (α) + k} + \frac{\sin (α) \cdot \cos^{2} (α)}{\sqrt{\sin^{2} (α) + k}} = 0$

wobei ich zur Abkürzung $k = \frac{2 g h_{0}}{{v_{0}}^{2}}$ geschrieben habe. Ich benutze die trigonometrische Identität $\cos (2 α) = \cos^{2} (α) - \sin^{2} (α)$ . Damit und wenn ich die Gleichung mit der Wurzel durchmultipliziere, bekommen wir:

$\cos (2 α) \cdot \sqrt{\sin^{2} (α) + k} - \sin (α) \cdot (\sin^{2} (α) + k) + \sin (α) \cdot \cos^{2} (α) = 0$

Jetzt bringe ich alle Terme ohne Wurzel auf die rechte Seite, klammere dort $\sin (α)$ aus und wende wieder die oben genannte trigonometrische Identität an:

$\cos (2 α) \cdot \sqrt{\sin^{2} (α) + k} = \sin (α) \cdot (\sin^{2} (α) + k - \cos^{2} (α)) = \sin (α) \cdot (k - \cos (2 α))$

Nun auf beiden Seiten quadrieren:

$\cos^{2} (2 α) \cdot (\sin^{2} (α) + k) = \sin^{2} (α) \cdot (k^{2} - 2 k \cdot \cos (2 α) + \cos^{2} (2 α))$

Nun ausmultiplizieren:

$\cos^{2} (2 α) \cdot \sin^{2} (α) + \cos^{2} (2 α) \cdot k = \sin^{2} (α) \cdot (k^{2} - 2 k \cdot \cos (2 α)) + \cos^{2} (2 α) \cdot \sin^{2} (α)$

Die Terme $\cos^{2} (2 α) \cdot \sin^{2} (α)$ rechts und links heben sich auf und danach kann ich die verbliebene Gleichung noch durch $k$ teilen. Wir erhalten dann:

$\cos^{2} (2 α) = \sin^{2} (α) \cdot (k - 2 \cdot \cos (2 α))$

Nun löse ich die oben genannte trigonometrische Identität nach $\sin^{2} (α)$ auf:

$\cos (2 α) = \cos^{2} (α) - \sin^{2} (α) = 1 - \sin^{2} (α) - \sin^{2} (α) = 1 - 2 \cdot \sin^{2} (α) \Rightarrow$

$\Rightarrow \sin^{2} (α) = \frac{1}{2} \cdot (1 - \cos (2 α))$

Dies setzt man in die letzte Gleichung ein:

$\cos^{2} (2 α) = \frac{1}{2} \cdot (1 - \cos (2 α)) \cdot (k - 2 \cdot \cos (2 α)) = \frac{k}{2} - \cos (2 α) - \frac{k}{2} \cdot \cos (2 α) + \cos^{2} (2 α)$

Rechts und links heben sich nun $\cos^{2} (2 α)$ weg und den Rest kann man leicht nach $\cos (2 α)$ auflösen. Danach noch $k$ resubstituieren und man ist fertig.

Viele Grüße

Yokozuna

Edddi aktiv_icon

13:36 Uhr, 06.10.2010

...jau Danke Yokozuna...mjammm...mjammmm...bin grade fertig mit Frühstück...

...da hast du mir ein gutes Stück Arbeit abgenommen...

bis denne

Ihso92 aktiv_icon

13:59 Uhr, 06.10.2010

vielen herzlichen dank ihr beiden

habt echt super arbeit geleistet

ich checks daheim nochmal alles nach und dann wird der thread geschlossen

Ihso92 aktiv_icon

15:57 Uhr, 07.10.2010

danke ihr beiden

großartige arbeit :)

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