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Wie leite ich tan(x+y) ohne Ableitungsregeln ?

Universität / Fachhochschule

Funktionen

Tags: Ableitung, Funktion, Tangens

sweetlady aktiv_icon

17:16 Uhr, 01.04.2013

hallo Allersamt

Ich habe eine Frage wie leite ich denn den

tan (x + y)

ohne anwendung der Ableitungsregeln ab ?

tan (x + y) = \frac{tan (x) + tan (y)}{1 - tan (x) \cdot tan (y)}

Ich wäre sehr dankbar für eure Hilfe

lg

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sm1kb aktiv_icon

18:56 Uhr, 01.04.2013

Hallo sweetlady,
es handelt sich ja um eine Funktion

z = t a n (x + y)

von zwei Veränderlichen. Man kann also das totale Differential berechnen:

d z = \frac{\partial z}{\partial x} \cdot d x + \frac{\partial z}{\partial y} \cdot d y = c o s^{- 2} (x + y) \cdot (d x + d y)

Gruß von sm1kb

sweetlady aktiv_icon

01:43 Uhr, 02.04.2013

Hey Sm1kb

dankeschön für deine hilfreiche antwort aber der Lösungsweg sieht vor dass man die h-methode benutzt. Ich weiß wie man es

benutz mit funktionen einer Variablen aber Funktionen mit mehreren Variablen verwirren mich einwenig

Also in der Lösung geben sie diesen Ansatz:

tan (x + h) - tan (x) = \frac{(\frac{tan (x) - tan (h)}{1 - tan (x) \cdot tan (h)}) - tan (x)}{h}

warum wurde "y" durch "h" ersetzt ? wie haben sie es transformiert ? gibt es besondere Regeln für trigonometrische Funktionen?

vielen Dank schon mal

lg sweetlady

Bummerang

06:41 Uhr, 02.04.2013

Hallo,

ich denke, dass Du mal die komplette und korrekte Aufgabenstellung hier einstellen solltest. Nachdem, was Du hier bisher eingestellt hast, sieht es doch eher so aus, als ob Du die Ableitung von

tan (x)

mit der h-Methode machen sollst und als Hilfe das Additionstheorem für den Tangens einer Summe mitbekommen hast. Allerdings hast Du dann bei der Einsetzung einmal das

h

im Nenner vergessen und im Zähler aus dem Plus ein Minus gemacht. Alles sehr verwirrend, also her mit der Originalaufgabe, ansonsten ist konkrete Hilfe nicht möglich!

sweetlady aktiv_icon

12:12 Uhr, 02.04.2013

also die komplette Aufgabe lautet :

"Berechnen Sie die Ableitung des Tangens in sein Def.Bereich mithilfe der Definition der Ableitung benutzen Sie das Additionstheorem für den Tangens.

tan (x + y) = \frac{tan (x) + tan (y)}{1 - tan (x) \cdot tan (y)}

das Anwenden von Ableitungsregeln gilt hier nicht."

lg

Rabanus aktiv_icon

12:18 Uhr, 02.04.2013

Es läuft daraus hinaus, den Grenzwert von

lim_{h \to 0} \frac{h}{tan h}

zu bestimmen.

sweetlady aktiv_icon

12:59 Uhr, 02.04.2013

ich weiß das man die

H

methode anwenenden sollte und ich habe in der voherigen Nachricht auch den Ansatz gezeigt und es
verwirrt mich da es um eine Funktion mit mehreren Variablen geht.....

lg

Rabanus aktiv_icon

13:26 Uhr, 02.04.2013

Hey,
wie kommst du auf die Idee, dass es sich um eine Funktion mit mehreren Variablen handelt ?

"Berechnen Sie die Ableitung des Tangens in sein Def.Bereich mithilfe der Definition der Ableitung..."

Wie lautet denn die Definition der Ableitung ?

sweetlady aktiv_icon

14:01 Uhr, 02.04.2013

die definition der Ableitung lautet

lim_{h \to 0} \frac{f (x + h) - f (x)}{h}

ich habe es jetzt kapiert also

lim_{h \to 0} \frac{tan (x + h) - tan (x)}{h} = (\frac{\frac{tan (x) + tan (h)}{1 - tan (x) \cdot tan (h)} - tan (x)}{h})

\Rightarrow \frac{(\frac{tan (x) + tan (h) - tan (x) + {tan}^{2} (x) \cdot tan (h)}{1 - tan (x) \cdot tan (h)})}{h} \Rightarrow \frac{tan (h)}{h} \cdot \frac{1 - {tan}^{2} (x)}{1 - tan (x) tan (h)}

\Rightarrow (\frac{sin (h)}{h}) \cdot (\frac{1}{cos (h)}) \cdot \frac{1 - {tan}^{2} (x^{2})}{1 - tan (x) \cdot tan (h)}

\to^{h \to 0} 1 - {tan}^{2} (x)

Ich habe es jetzt verstanden dankeschön für die hilfreichen tips

ich wünsche euch einen schönen Tag noch

lg sweets

Shipwater aktiv_icon

14:06 Uhr, 02.04.2013

Vorzeichenfehler.

Bummerang

14:36 Uhr, 02.04.2013

Hallo,

. .

. und aus den

{tan}^{2} (x)

ist unnötigerweise ein

{tan}^{2} (x^{2})

geworden!

Shipwater aktiv_icon

14:46 Uhr, 02.04.2013

Wenn wir schon dabei sind: Wenn du

lim_{h \to 0}

am Anfang schreibst, musst du es dann auch konsequent mitschreiben. Und die "

\Rightarrow

" müssten eigentlich Gleichheitszeichen sein. Mit "

\Rightarrow

" verknüpft man Aussagen.

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