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[f (x + delta x) - f (x)] / delta x ...???

Universität / Fachhochschule

Grenzwerte

Tags: Ableitung, Grenzwert

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Satan666

Satan666 aktiv_icon

13:31 Uhr, 10.02.2014

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Hallo,

ich habe hier eine Aufgabe und weiß ehrlich gesagt nicht, was ich da überhaupt berechnen soll.
Anscheinend geht es um einen Grenzwert..?

Hier die Aufgabe:

Es sei

f (x) = - 2 \cdot x^{3} + x^{2}

.
Berechnen Sie

\frac{f (x + δ x) - f (x)}{δ} x

und bestimmen Sie f´(x).

Also die normale Ableitung kriege ich hin, aber was soll das mit diesem

Δ

sein?

[

in der Formel ist aus dem

Δ

dieses Ableitungs-D geworden...und das

x

hinter der Formel gehört in den Nenner

]

Kann mir das jemand mit Lösungsweg erklären (und mir sagen, was ich da überhaupt mache..wirklich einen Grenzwert ausrechnen?)?

Vielen Dank schon mal,
Marina

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
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Regel von l'Hospital (Mathematischer Grundbegriff)
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Ableitung (Mathematischer Grundbegriff)
Differenzenquotient (Mathematischer Grundbegriff)
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Ableitung einer Funktion an einer Stelle (Mathematischer Grundbegriff)
Ableitungsfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
Ableitungsregeln (Mathematischer Grundbegriff)

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Antwort

Respon

13:36 Uhr, 10.02.2014

Antworten

f (x) = - 2 \cdot x^{3} + x^{2}

Vermutlich sollst du Folgendes berechnen

f' (x) = lim_{Δ x \to 0} \frac{f (x + Δ x) - f (x)}{Δ x}

Satan666

Satan666 aktiv_icon

13:39 Uhr, 10.02.2014

Antworten

Ok, sowas ähnliches habe ich schon gesehen bei meiner Suche nach Lösungen.
Weißt du, wie man das genau macht?

Antwort

Respon

13:42 Uhr, 10.02.2014

Antworten

Du musst nur den Differenzenquotienten ( dessen Grenzwert du bilden musst ) auf deine Angabe anwenden.
Dann den

lim_{Δ x \to 0}

bilden und eventuell kontrollieren ( durch Differenzieren

),

ob das Ergebnis stimmt.

Satan666

Satan666 aktiv_icon

13:45 Uhr, 10.02.2014

Antworten

Das bringt mich leider gar nicht weiter, weil ich von Mathe so gar nichts verstehe

: (

Könntest du mir bitte den Lösungsweg aufschreiben?

Wo wir grad bei Ableitungen sind: gibt es Ableitungen erster und zweiter Ordnung auch bei normalen Funktionen oder nur bei partiellen?
Wäre das dann gleichzusetzen mit 1. und 2. Ableitung?

Antwort

Respon

13:50 Uhr, 10.02.2014

Antworten

Vorerst zu unserem Beispiel

f (x) = - 2 \cdot x^{3} + x^{2}

Für den Differenzenquotienten benötigt man

f (x + Δ x), d . h

. man ersetzt in der Funktionsgleichung das

x

durch

x + Δ x

.
also

f (x + Δ x) = - 2 \cdot {(x + Δ x)}^{3} + {(x + Δ x)}^{2} = . .

.
Das wird jetzt so weit wie möglich ausgerechnet ( "binomische Formel" ) und wenn möglich vereinfacht.
Rechne das einmal !

Satan666

Satan666 aktiv_icon

14:03 Uhr, 10.02.2014

Antworten

Das muss ich also immer so machen, wenn nach der Ableitung vom limes gefragt ist?
Immer erstmal den Differenzenquotienten ausrechnen?

Meine Lösung ist:

= -2*(x³

+

deltax³

+

3*x²*deltax

+

3*x*deltax²

+

x²

+ 2 \cdot x \cdot δ x +

deltax²)

Antwort

Respon

14:04 Uhr, 10.02.2014

Antworten

Der Faktor

- 2

steht nur vor

{(x + Δ x)}^{3}

Satan666

Satan666 aktiv_icon

14:07 Uhr, 10.02.2014

Antworten

Ups, dann ists:

= -2*(x³

+

deltax³

+

3*x²*deltax

+

3*x*deltax²)

+

x² +2⋅x⋅δx+ deltax²

Antwort

Respon

14:08 Uhr, 10.02.2014

Antworten

Und jetzt die erste Klammer mit

- 2

multiplizieren.

f (x + Δ x) = . .

.

Satan666

Satan666 aktiv_icon

14:12 Uhr, 10.02.2014

Antworten

= -2*x³ -2*deltax³ -6*x²*deltax -6*x*deltax²

+

x² +2⋅x⋅deltax+ deltax²

Antwort

Respon

14:18 Uhr, 10.02.2014

Antworten

Scheint richtig zu sein ( Bitte bei Gelegenheit "Wie schreibt man Formeln" durchackern )
Jetzt zurück zum Anfag

f' (x) = lim_{Δ x \to 0} \frac{f (x + Δ x) - f (x)}{Δ x}

Ersetze jetzt im Zähler

f (x + Δ x)

durch den langen berechneten Term
und

f (x)

durch ( laut Angabe

) - 2 \cdot x^{3} + x^{2}

ACHTUNG: Da das

f (x)

SUBTRAHIERT wird, auf die Vorzeichen achten.
Im Zähler müssten nun 4 Glieder verschwinden ( sie "heben sich auf" )
Schreibe zur Kontrolle nur mal den Zähler des Bruches auf.

Satan666

Satan666 aktiv_icon

14:25 Uhr, 10.02.2014

Antworten

Da erhalte ich jetzt:

= -

2*deltax³ - 6*x²*deltax - 6*x*deltax²

+ 2 \cdot x \cdot δ x +

deltax²

Antwort

Respon

14:29 Uhr, 10.02.2014

Antworten

Sieht gut aus !
In JEDEM Glied des Zählers kommt nun

Δ x

vor.

Δ x

steht auch im Nenner.
Man kann daher den GESAMTEN Zähler durch

Δ x

kürzen.
Was ergibt das ?

Satan666

Satan666 aktiv_icon

14:32 Uhr, 10.02.2014

Antworten

Muss ich das nicht vorher noch ausklammern? Oder alle Teile (Summanden) einzeln schreiben?

Ich krieg da raus:

− 2*deltax² - 6*x²

- 6 \cdot x \cdot δ x

+2⋅x⋅δx+

δ x

Antwort

Respon

14:36 Uhr, 10.02.2014

Antworten

Ausklammern ist nicht notwendig ( man kürzt "der Reihe nach" ).
Aber, offensichtlich ein Schreibfehler.
Ich habe

- 2 \cdot {(Δ x)}^{2} - 6 \cdot x^{2} - 6 \cdot x \cdot Δ x + 2 \cdot x + Δ x

Kontrolliere nochmals.

Satan666

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14:41 Uhr, 10.02.2014

Antworten

Ohja,duhast Recht.
Da hab ich einmal nicht gekürzt.

Ist das nun der endgültige Term? Oder muss ich jetzt ableiten?
Ist der Limes vorne nun weg? Wann muss man den denn nicht mehr hinschreiben/wann ist er "abgearbeitet"?

Antwort

Respon

14:45 Uhr, 10.02.2014

Antworten

Wir haben als Nebenrechnung nur den Bruch vereinfacht ( der aber durch das Kürzen jetzt kein Bruch mehr ist ).
gehen wir wieder zurück zum Anfang unserer Limes - Berechnung

f' (x) = lim_{Δ x \to 0} \frac{f (x + Δ x) - f (x)}{Δ x} = lim_{Δ x \to 0} - 2 \cdot {(Δ x)}^{2} - 6 \cdot x^{2} - 6 \cdot x \cdot Δ x + 2 \cdot x + Δ x

Ist das bisher klar ?

Satan666

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14:46 Uhr, 10.02.2014

Antworten

Ja, bisher hab ich alles verstanden :-)

Antwort

Respon

14:47 Uhr, 10.02.2014

Antworten

Δ x

"wandert" jetzt gegen 0 und wird schließlich 0.
Welche Teile unseres Terms sind davon nicht betroffen und bleiben daher übrig?

Satan666

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14:49 Uhr, 10.02.2014

Antworten

−6⋅x² und +2⋅x

Antwort

Respon

14:50 Uhr, 10.02.2014

Antworten

Schwer zu entziffern, aber ich vermute

- 6 \cdot x^{2} + 2 \cdot x

Satan666

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14:51 Uhr, 10.02.2014

Antworten

Oh, was hat er denn da draus gemacht? Oo

Ja, deine Terme waren gemeint

Antwort

Respon

14:56 Uhr, 10.02.2014

Antworten

Damit sind wir eigentlich fertig

f (x) = - 2 \cdot x^{3} + x^{2}

f' (x) = lim_{Δ x \to 0} \frac{f (x + Δ x) - f (x)}{Δ x} = lim_{Δ x \to 0} - 2 \cdot {(Δ x)}^{2} - 6 \cdot x^{2} - 6 \cdot x \cdot Δ x + 2 \cdot x + Δ x = - 6 \cdot x^{2} + 2 \cdot x

oder kürzer

f' (x) = - 6 \cdot x^{2} + 2 \cdot x

Wir haben also den "Differentialquotienten" ( die "Ableitung" ) einer Funktion mit dem Limes des "Differenzenquotienten" berechnet.

Man kann das natürlich noch fortsetzen und von der Ableitung die Ableitung bilden usw.
Dann spricht man von

1 ., 2

.

... .

. Ableitung.

Satan666

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15:00 Uhr, 10.02.2014

Antworten

Ui, das ging ja jetzt schneller als gedacht.
Vielen, vielen Dank, dass du dir die Zeit genommen hast :-) Alleine hätte ich das niemals hinbekommen.

Dürfte ich meine Frage von vorhin nochmal wiederholen?
Ob es Ableitungen erster und zweiter Ordnung auch bei normalen Funktionen gibt, oder nur bei partiellen?

Was soll ich sonst bei

y = 2 x - 5

für eine Ableitung erster und zweiter Ordnung bilden?

Antwort

Respon

15:04 Uhr, 10.02.2014

Antworten

Also der Begriff "partielle" Ableitung hat mit Funktionen der Art

f (x) = 4 \cdot x^{2} - 5 \cdot x + 7

usw.
nichts zu.
Ableitungen haben ja eine Bedeutung ( Anstieg, Wendepunkte usw. )
Je nach Aufgabenart braucht man dazu die erste oder zweite Ableitung ( manchmal auch die dritte ).

Satan666

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15:07 Uhr, 10.02.2014

Antworten

Ja, so hatte ich mir das auch gedacht.
Nur steht in der Aufgabenstellung, ich soll die Ableitung erster und zweiter Ordnung von zB

y = 2 x - 5

oder

y = \frac{1}{3} \cdot x^{9}

bilden

Ich würd da einfach normal ableiten, darum versteh ich nicht, was da eine Ableitung erster und zweiter Ordnung drin zu suchen hat.
Ich würd denken, der Aufgaben-Ersteller meinte 1. und 2. Ableitung.

Antwort

Respon

15:11 Uhr, 10.02.2014

Antworten

Gemeint ist:
Du bildest die Ableitung, und von der Ableitung wieder die Ableitung

f (x) = 2 \cdot x - 5 \Rightarrow f' (x) = 2 \Rightarrow f'' (x) = 0

f (x) = \frac{1}{3} \cdot x^{9} \Rightarrow f' (x) = 3 \cdot x^{8} \Rightarrow f'' (x) = 24 \cdot x^{7}

Satan666

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15:12 Uhr, 10.02.2014

Antworten

Das wäre ja dann die 1. und 2. Ableitung.
Dann ist das in der Aufgabenstellung wohl nur blöd ausgedrückt.

Antwort

Respon

15:12 Uhr, 10.02.2014

Antworten

"Partielle" Ableitungen kommen

z . B

. vor bei Funktionen wie

f (x; y) = x^{2} \cdot y - x \cdot y^{2} + 3 \cdot x \cdot y - 4 \cdot x + 7

Antwort

Respon

15:14 Uhr, 10.02.2014

Antworten

Ich glaube, das wär' dann !

Satan666

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15:14 Uhr, 10.02.2014

Antworten

Ja, ich weiß, wenn 2 Variablen drin sind...und dann wird auch über Kreuz und so abgeleitet.

Deswegen hab ich mich gewundert, wie ich bei 1 Variablen über Kreuz und hin und her (also 2. Ordnung) ableiten soll :-D)

Satan666

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15:15 Uhr, 10.02.2014

Antworten

Ja, damit sind (erstmal) alle Fragen geklärt.

Vielen Dank nochmal für deine Zeit und Mühe :-)
Das hast du wirklich gut erklärt!

Antwort

Respon

15:16 Uhr, 10.02.2014

Antworten

Thread "schließen" nicht vergessen !

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