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l'Hospital: Ableitung von 2x (e^x -1)

Universität / Fachhochschule

Grenzwerte

Tags: Ableiten, Ableitung, Grenzwert

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tonybruny

tonybruny aktiv_icon

14:41 Uhr, 17.03.2019

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Hallo!

Ich soll den Grenzwert folgender Funktion mithilfe der Regel von l'Hospital ermitteln.

\frac{1 - cos (x)}{2 x \cdot (e^{x} - 1)}

x \to 0

hab das auch mal als bild eingefügt.

also der bruch ergibt ja

\frac{0}{0}

.
also kann l'Hospital angewendet werden.

der obere teil 1-cosx sollte ja abgeleitet sinx ergeben.

beim nenner komme ich aber leider gerade nicht weiter. den sollte man ja umschreiben können zu

2 x \cdot e^{x} - 2 x

dann dachte ich, dass ich

2 x \cdot e^{x}

einfach mit der produktregel ableiten könnte. abgeleitet kommt dann raus

2 e^{x} + 2 x \cdot e^{x} - 2

.

aber wenn ich das jetzt mal überschlage, werde ich bei der ableitung 2 so nicht weiter kommen.

2 e^{x}

bleibt

2 e^{x}

. das

- 2

fällt weg. und das

2 x \cdot e^{x}

ergibt dann wieder

2 e^{x} + 2 x \cdot e^{x}

.

hoffe, mein problem ist klar geworden.
danke und liebe grüße

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Antwort

Atlantik

Atlantik aktiv_icon

15:10 Uhr, 17.03.2019

Antworten

lim_{x \to 0} \frac{1 - cos x}{2 x \cdot (e^{x} - 1)} \to lim_{x \to 0} \frac{sin (x)}{(2 \cdot (e^{x} - 1)) + 2 x \cdot e^{x}} = lim_{x \to 0} \frac{sin (x)}{2 \cdot e^{x} - 2 + 2 x \cdot e^{x}} \to lim_{x \to 0} \frac{cos (x)}{2 e^{x} + 2 e^{x} + 2 x \cdot e^{x}} =

= lim_{x \to 0} \frac{cos (x)}{4 e^{x} + 2 x \cdot e^{x}} = \frac{1}{4}

mfG

Atlantik

Frage beantwortet

tonybruny

tonybruny aktiv_icon

15:36 Uhr, 17.03.2019

Antworten

danke für die fixe antwort!

tonybruny

tonybruny aktiv_icon

15:46 Uhr, 17.03.2019

Antworten

beim schritt zur 3. ableitng hätte ich doch noch eine frage. muss ich bei der ableitung von

2 e^{x} - 2 + 2 x (e^{x})

da ist mir klar, dass

- 2

einfach wegfällt. aber wieso kann ich denn dann die

2 x (e^{x})

so stehen lassen - muss ich den teil nicht auch nochmal ableiten?

edit: habs, nochmal ausgeschrieben und jetzt hats geklappt. danke nochmal

Antwort

Atlantik

Atlantik aktiv_icon

16:43 Uhr, 17.03.2019

Antworten

[2 x \cdot e^{x}]

´

= 2 \cdot e^{x} + 2 x \cdot e^{x}

mfG
Atlantik

Antwort

HAL9000

15:08 Uhr, 18.03.2019

Antworten

Man kann auch bei

\frac{1 - \cos (x)}{2 x^{2}} \cdot \frac{x}{e^{x} - 1}

getrennt nach diesen beiden Faktoren zu L'Hospital übergehen, da werden die Ausdrücke nicht ganz so hässlich.

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