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Ableitung von e^(ax)

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Tags: Ableitung, e-Funktion, Funktion, Grenzwert

-Lizzy- aktiv_icon

11:27 Uhr, 14.01.2018

Hallo,

ich bräuchte Hilfe bei der folgenden Aufgabe:
"Gegeben sei für

a \in ℂ

die Abbildung

f : ℝ \to ℂ; x \to

e^(ax). Zeigen Sie, dass

f' (x) =

a*e^(ax)
(Kettenregel darf nicht verwendet werden)"

Ich habe mir folgendes überlegt:
(Tut mir leid, ich weiß nicht, warum die Formeln nicht richtig dargestellt werden)

f' (x) = \frac{f (x + h) - f (x)}{h}

Sei

n = \frac{1}{h}

e = lim_{n \to \infty} {(1 + \frac{1}{n})}^{n} = lim_{n \to \infty} {(1 + h)}^{\frac{1}{h}} = lim_{h \to 0} {(1 + h)}^{\frac{1}{h}}

Dann gilt:

\frac{d}{d x}

e^(ax)

= lim_{h \to 0}

(e^(ax+h)-e^(ax))/h

= lim_{h \to 0}

(e^(ax)*

e^{h} -

e^(ax))/h

= lim_{h \to 0}

(e^(ax)*

(e^{h} - 1) \frac{)}{h}

= e^(ax)

lim_{h \to 0} \frac{e^{h} - 1}{h} =

e^(ax)

lim_{h \to 0} \frac{{({(1 + h)}^{\frac{1}{h}})}^{h} - 1}{h}

= e^(ax)

lim_{h \to 0} \frac{(1 + h) - 1}{h} =

e^(ax)

lim_{h \to 0} \frac{h}{h}

= e^(ax)

lim_{h \to 0} 1 =

e^(ax)*1
= e^(ax)

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

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pwmeyer aktiv_icon

11:38 Uhr, 14.01.2018

Hallo,

Du hast schon einen Fehler beim Berechnen des Differenzenquotientne gemacht. Wenn

f (x) = e^{a \cdot x}

ist, dann ist

f (x + h)

nicht

e^{a \cdot x + h}

.

Im übrigen vermute ich, dass Du für die Berechnung des Grenzwerts des Differenzenquotienten die Reihendarstellung der Exponential-Funktion benuzten sollst - oder wie habt Ihr die komplexe exp-Funktion definiert?

Gruß pwm

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