Beweis, dass F(x) eine Stammfunktion zu f(x) ist

Hallo Leute,

Ich stecke grad mitten in den Vorbereitungen aufs anstehende Fachabitur. Bin aber gerade über eine Aufgabe gestolpert, die ich so gar nicht verstehe:

Gegeben ist die Funktion:

${\displaystyle \mathrm{F<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\left(\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\right)=-\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}+\frac{3}{2}\mathrm{ln<mspace\; width="0.12em"></mspace>}(\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}-1)-\frac{3}{2}\mathrm{ln<mspace\; width="0.12em"></mspace>}(\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}+1)}$

Ich soll nun zeigen, dass F(x) eine Stammfunktion von ${\displaystyle \mathrm{f<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\left(\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\right)=\frac{4-\mathrm{x²<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}{\mathrm{x²<mspace\; width="0.12em"></mspace>}-1}}$ ist.

Dazu muss ich doch dann F'(x) bilden, oder? Nur weiß ich beim besten Willen nicht wie das gehen soll.

Wenn ich es ableite sieht es danach so aus:

${\displaystyle \mathrm{F<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\text{'}\left(\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\right)=-1\cdot \frac{3}{2}\mathrm{ln<mspace\; width="0.12em"></mspace>}(\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}-1)+\frac{1}{\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}-1}-(\frac{3}{2}\mathrm{ln<mspace\; width="0.12em"></mspace>}(\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}+1)+\frac{1}{\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}+1}}$

Zum Haare raufen ist das... Naja, bin für jeden Tipp dankbar!

Gruß Markus

Ich glaube meine Ableitung war doch falsch.

Weil das ${\displaystyle \frac{3}{2}}$ "hat" ja garkein x dabei, also bleibt es beim Ableiten einfach stehen oder?

${\displaystyle {\mathrm{F<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^{\prime }\left(\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\right)=-1+\frac{3}{2}\cdot \frac{1}{\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}-1}-\frac{3}{2}\cdot \frac{1}{\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}+1}}$

Sorry, dass es solang gedauert hat, aber mit meinem ersten Ansatz hätte ich das ln nicht aus dem Term rausbekommen... glaube ich zumindest.

Gruß Markus

wenn man es nun auf den Hauptnenner bringt:

${\displaystyle {\mathrm{F<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^{\prime }\left(\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\right)=\frac{-2(\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}+1)(\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}-1)+3(\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}+1)-3(\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}-1)}{2(\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}-1)(\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}+1)}}$

$$\begin{gathered} {\displaystyle \iff {\mathrm{F<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^{\prime }\left(\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\right)=\frac{-2\mathrm{x²<mspace\; width="0.12em"></mspace>}+2+3\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}+3-3\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}+3}{2(\mathrm{x²<mspace\; width="0.12em"></mspace>}-1)} \\ \iff {\mathrm{F<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^{\prime }\left(\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\right)=\frac{-2\mathrm{x²<mspace\; width="0.12em"></mspace>}+8}{2(\mathrm{x²<mspace\; width="0.12em"></mspace>}-1)} \\ \iff {\mathrm{F<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^{\prime }\left(\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\right)=\frac{4-\mathrm{x²<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}{(\mathrm{x²<mspace\; width="0.12em"></mspace>}-1)}} \end{gathered}$$

Ah... ok so schwer is das ja garnicht. Aber diese Ableitungen bringen mich noch ins Grab.

Vielen dank für deine Hilfe und einen schönen Abend wünsche ich.

Bis dann, Markus