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Bugs in Rechnern?

Schüler

Tags: Ableitung, CAS, GTR, h-methode, Integral

Joshua2 aktiv_icon

23:45 Uhr, 19.02.2026

1. Beispiel

f(x) = 1/x²

Fläche A [1;b[ lim b → ∞
A = Integral [1;b[ 1/x² dx
A = [-1/x] [1;b[
A= -1/b - (-1/1)
A = 0 + 1
A = 1

doch fürs Integral [1;10^99] 1/x² dx
gibt der eine Rechner das Ergebnis 0
der andere 5,35 * 10^-86

2. Beispiel

f(x) = e^x

Ableitung = (e^(x+h) - e^x) / h
Ableitung= ((e^x)*(e^h) - e^x) / h
Ableitung = ((e^x)*((e^h) - 1) / h
Ableitung = (e^x)*((e^h) - 1) / h

der Term ((e^h) - 1) / h müsste für
h → 0 gegen 1 laufen

Das ist für die Funktion
f(x) = ((e^x) - 1) / x
eigentlich auch der Fall, doch für
((e^10^-99) - 1) / 10^-99
gibt der eine Rechner das Ergebnis 0
der andere 3,78 * 10^98

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Flächenberechnung durch Integrieren
Stammfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
Ableitung (Mathematischer Grundbegriff)
Differenzenquotient (Mathematischer Grundbegriff)
Differenzierbarkeit (Mathematischer Grundbegriff)
Ableitung einer Funktion an einer Stelle (Mathematischer Grundbegriff)
Ableitungsfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
Ableitungsregeln (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Ableiten mit der h-Methode
Ableitungsregeln für Polynomfunktionen
Extrema / Terrassenpunkte
Kettenregel

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KL700 aktiv_icon

04:58 Uhr, 20.02.2026

A = 1

ist richtig.

f (x) = \frac{1}{x^{2}} = x^{- 2}

F (x) = - \frac{x^{- 1}}{- 1} = - \frac{1}{x} + C

{[- \frac{1}{x}]}_{1}^{\infty} = - \frac{1}{\infty} - (- 1) = 0 + 1 = 1

www.wolframalpha.com/input?i=integrate+1%2Fx%5E2+from++1+to+infinite

2.

f (x) = e^{x}

f' (x) :

\frac{e^{x + h} - e^{x}}{h} = \frac{e^{x} \cdot e^{h} - e^{x}}{h} = \frac{e^{x} \cdot (e^{h} - 1)}{h}

lim_{h \to 0} \frac{e^{x} \cdot e^{h} - e^{x}}{h} = lim_{h \to 0} \frac{e^{x} \cdot (e^{h} - 1)}{h}

= e^{x} \cdot lim_{h \to 0} \frac{(e^{h} - 1)}{h}

An dieser Stelle kommt die Definition von

e

ins Spiel. Die Zahl

e

ist genau so definiert, dass die Steigung der Funktion ex an der Stelle

x = 0

exakt 1 beträgt.

\to f' (x) = e^{x}

Welche Rechner benutzt du?

calc007

11:04 Uhr, 20.02.2026

Hallo
Das klingt nach

>

Rechnergläubigkeit,

>

numerischen Schwierigkeiten,

>

ungünstigen Eingaben,

> . .

.

Du lässt nicht wissen,

>

welche 'Rechner' du nutzt,

>

was du eingegeben hast,

>

wie die internen Algorithemen damit umgehen.

Nur als Ahnung: Bei deinem ersten Beispiel hast du vermutlich einen numerischen Rechner & Algorithmus genutzt und blauäugig als obere Grenze

10^{99}

eingegeben.
Selbst wenn der Rechner

1000

(äquidistante) Schritte nutzen sollte, hat der erste Schritt die Schrittweite

\frac{10^{99}}{1000} = 10^{96}

Oh je, oh je, was soll da Sinnvolles dabei raus kommen?

Es gelten eben die alte Regeln:
shit in, shit out;
ein wenig Mitdenken und sinnvolle Eingaben nimmt dir kein Rechner ab.

PS, zu 2.Beispiel:
Zitat: "eigentlich schon der Fall, doch für"

(e^{10^{- 99}} - 1) . .

.

Wenn man sich das mal bildlich vor Augen führt, dann steht da sinngemäß:

1.000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000001 - 1

Und jetzt mach dir klar, dass ein Rechner diese beiden Zahlen intern in Speicher-Darstellung darstellen und voneinander abziehen sollte.
Das können vielleicht einzelne spezielle CAS, ganz sicherlich aber nicht gewöhnliche Taschenrechner.

HAL9000

13:23 Uhr, 20.02.2026

> doch für
> ((e^10^-99) - 1) / 10^-99
> gibt der eine Rechner das Ergebnis 0
> der andere 3,78 * 10^98

Dazu braucht man Informationen über das interne Format der verwendeten Floating-Point-Zahlen. 0 ist plausibel für alle gängigen IEEE754-Formate, da dort

e^{1 0^{- 99}} \approx 1 + 1 0^{- 99}

sofort zu 1 gerundet wird - klar, wenn man z.B. bei 64Bit-Floatingpoint nur ca. 16 Dezimalstellen Genauigkeit hat. Die Subtraktion

e^{1 0^{- 99}} - 1

ergibt dann natürlich 0.

Szenarien für das andere Ergebnis "3,78 * 10^98" fallen mir allerdings nicht ein.

Man sollte Berechnungsformeln auf solche Auslöschungsgefahren abklopfen und nach Möglichkeit in "robustere" Varianten umformen - Beispiel:

f (x) = \frac{\sqrt{1 + x} - 1}{x}

für betragsmäßig sehr kleine Werte

x

wird instabil, wenn man es genau so berechnet. Nutzt man hingegen die dritte Binomische Formel

f (x) = \frac{(\sqrt{1 + x} - 1) (\sqrt{1 + x} + 1)}{x (\sqrt{1 + x} + 1)} = \frac{1 + x - 1}{x (\sqrt{1 + x} + 1)} = \frac{1}{\sqrt{1 + x} + 1}

,

so sieht das deutlich besser aus. Im Falle der obigen e-Funktion kann bereits der Einsatz einer Taylorformel mit nur wenigen Gliedern der Auslöschung trotzen.

Joshua2 aktiv_icon

15:59 Uhr, 20.02.2026

>Welche Rechner benutzt du?

Ti nspire und Geogebra

Für f(x) = ((e^x) - 1) / x sieht es in der Grafik ja bei beiden so aus, als ob das für x →0 auch gegen 1 läuft, zoomt man näher ran, erhält sieht man, dass es denm Rechner doch nicht so klar zu sein scheint.

Man kann das ja noch weiter aufteilen in f(x) = (e^x)/x - 1 / x . Der Term 1 / x sollte ja für x →0 gegen unendlich laufen. Der Term (e^x)/x läuft für für x →0 auch gegen unendlich. So kommt man also nicht weiter.

Geogebra:
(e^0.01)/0.01 - 1 / 0.01 = 1,005
(e^0.001)/0.001 - 1 / 0.001 = 1,0005
(e^0.0001)/0.0001 - 1 / 0.0001 = 1,0001
(e^0.0000001)/0.0000001 - 1 / 0.0000001 = 1

Für f(x) = 1/x²
ist das Ergebnis Integral [1;10^99] = 0 auf jeden Fall falsch. Die Fläche kan ja nicht kleiner werden

Mathematisch interessant ist ja, dass das Integral [1;b] für b → unendlich für f(x) = 1/Wurzel(x) auch gegen läuft für f(x) = 1/x² jedoch gegen 1 obwohl beide Funktionen ja gegen Null laufen.

[(x^(3/2))*2/3] [1;b] für b → unendlich = unendlich – 2/3 = unendlich

> und blauäugig als obere Grenze 10^99 eingegeben

Der Ti nimmt eigentlich selbst 9^999 für unendlich, fürs Integral [1;9^999] 1/x^2,dx kommt allerdings „Überlauf“

calc007

18:59 Uhr, 20.02.2026

"Ti nspire und Geogebra"
Die zählen ganz gewiss nicht zu Programmen, die

1.000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000001 - 1

intern darstellen und damit umgehen können.

Joshua2 aktiv_icon

22:35 Uhr, 20.02.2026

Bleibt nocht die Frage, warum das Integral im Interval [1;unendlich[ für 1/x² gegen eine feste Größe läuft und für 1/Wurzel(x) gegen unendlich, obwohl beide Funktionen für x gegen unendlich gegen Null laufen?

[-1/x] [1;b] für b → unendlich = 0 - (-1) = 1
[(x^(1/2))*2] [1;b] für b → unendlich = unendlich - 2 = unendlich

calc007

23:05 Uhr, 20.02.2026

Das ist jetzt aber eine ganz andere Frage.
Alle Integrale

\int_{1}^{\infty} \frac{1}{x^{p}} \cdot d x

>

sind konvergent für

p > 1,

>

sind divergent für

p \leq 1

.

Warum?
Weil man das Integral ja leicht lösen kann.
Am besten nicht wild mit Taschenrechner,
sondern per Papier und Bleistift.

lim_{b \to \infty} \int_{1}^{b} \frac{1}{x^{p}} \cdot d x = lim (\frac{x}{(1 - p) \cdot x^{p}}) |_{1}^{b} = \frac{1}{p - 1} + lim_{b \to \infty} \frac{b}{(1 - p) \cdot b^{p}}

1592282

1592275

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