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Fläche zw. Sinusfkt. und Parabel

Schüler Gymnasium, 12. Klassenstufe

Tags: Integral, Parabel, Sinusfunktion

toxic aktiv_icon

22:26 Uhr, 15.03.2010

Hey,

hab hier ein kleines Problem..folgende Aufgabe:

"Eine zur y-Achse achsensymmetrische Parabel läuft durch den ersten Höhepunkt der Sinusfunktion rechts des Ursprungs. Sie umschließt mit dieser eine Fläche A.

Gesucht ist der Inhalt von A.

Erstmal sollte man ja die Parabelgleichung bestimmen aber mir ist aufgefallen dass ich das nichtmehr kann..

Für den Schnittpunkt der Parabel mit der Sinusfunktion hab ich

P (\frac{Π}{2} | 1)

Im Buch sieht man, dass die Parabel den Ursprung schneidet, daher

U (\frac{0}{0})

Wie gehe ich jetzt weiter vor?

MfG

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Flächenberechnung durch Integrieren
Stammfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
Sinusfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
Allgemeine Sinusfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
Quadratische Funktionen (Mathematischer Grundbegriff)
Parabel (Mathematischer Grundbegriff)
Quadratische Ergänzung
Bestimmtes Integral (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Schnittpunkte zweier Parabeln bestimmen
Schnittpunkte zwischen Parabel und Gerade bestimmen
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CKims aktiv_icon

22:50 Uhr, 15.03.2010

allgemeine formel fuer die parabel lautet

f (x) = a x^{2} + b x + c

da die parabel aber symmetrisch zur

y

achse sein soll, kann es nur

x

mit geraden exponenten geben. also

f (x) = a x^{2} + c

jetzt setzt du deine gefundenen punkte in diese gleichung ein und berechnest a und

c

. damit hast du deine parabel gefunden.

dann bildest du das integral von parabel und sinusfunktion. integrierst beide von 0 bis

x = \frac{π}{2}

. damit erhaelst du die flaechen unter den jeweiligen funktionen. wenn du die flaeche unter der parabel von der flaeche unter dem sinus abziehst, bleibt nur noch die flaeche zwischen beiden funktionen uebrig.

lg

toxic aktiv_icon

23:33 Uhr, 15.03.2010

Öh, ich hab für

c

ungefähr

- 2,47 a + 1

raus. Ist das richtig? Wenn ja, wie muss ich weiterrechnen, denn wenn ich den Term für

c

einsetze hab ich

1 = 2,47 a - 2,47 a + 1

.

MfG

CKims aktiv_icon

23:54 Uhr, 15.03.2010

f (x) = a x^{2} + c

erstmal den punkt

(0; 0)

einsetzen. das ergibt

a \cdot 0^{2} + c = 0

0 + c = 0

c = 0

dann den punkt

(\frac{π}{2}; 1)

einsetzen. das ergibt

a \cdot {(\frac{π}{2})}^{2} + c = 1

c

einsetzen

a \cdot {(\frac{π}{2})}^{2} + 0 = 1

nach a umstellen

a \cdot \frac{π^{2}}{2^{2}} = 1

a \cdot \frac{π^{2}}{4} = 1

a = \frac{4}{π^{2}}

deine parabelgleichung lautet also

f (x) = \frac{4}{π^{2}} x^{2}

dann musst du

A = \int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{4}{π^{2}} x^{2} d x =

B = \int_{0}^{\frac{π}{2}} sin (x) d x =

??

berechnen. das gibt dir die flaechen unter den jeweiligen funktionsgraphen zurueck. wenn du dann

B - A

rechnest bekommst du die flaeche zwischen den beiden graphen zurueck.

lg

toxic aktiv_icon

00:22 Uhr, 16.03.2010

Alles klar, dankeschön.

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