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P-Q-Formel mit cosinus

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Tags: Funktion, Kosinusfunktion, p-q Formel, pq-Formel, Sinus, Trigonometrische Funktionen

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02:25 Uhr, 11.01.2010

Mir ist in TM gerade folgende Aufgabe untergekommen
[*]

7, 3926 s i n β = 13 + 11, 196 c o s β

....
[min

s i n ² β + c o s ² β = 1

wird daraus]

0 = 0, 635 + 1, 617 c o s β + c o s ² β

[hier hatte ich beim selber rechnen schon große Schwierigkeiten das überhaupt als quadratische Gleichung zu erkenne aber gut jetzt weiß ichs]
zur p-q-Formel mit:

c o s β = U

U_{1 / 2} = - 0, 808 + - \sqrt{(0, 654 - 0, 635)}

U_{1} = - 0, 672

U_{2} = - 0, 946

Soweit so gut da würde ich jetzt einfach die "u" werte in

β = c o s^{- 1} U

einsetzen und meine beiden Winkel raus bekommen.

β_{1} = 132, 205 °

und

β_{2} = 161, 122 °

komischer weise sind in der Lösung die ich hier habe außerdem noch

β_{3} = 47, 778

und

β_{4} = 18, 915 °

angegeben auf die zahlen würde ich kommen wenn ich bei U1 und U2 die Vorzeichen umkehre nur warum sollte ich das tuen?
außerdem soll ich die Ergebnisse durch einsetzen in [*] da fallen

β_{3}

und

β_{4}

dann raus.

aber wie zur Hölle komme ich auf die Idee noch

β_{3}

und

β_{4}

zu berechnen? wenn andere zahlen vorgegeben gewesen währen hätte es ja auch sein können das /beta1 und

β_{2}

falsch und

β_{3 + 4}

richtig sind. oder nicht oder doch oder wie? irgendwie blicke ich da nicht durch. währe super wenn du mir da helfen könntest.(ach so da sind Rundungsfehler drin sind bei der Prüfung stimmen die Nachkommastellen also nur näherungsweise)

Vielen dank schon mal im Voraus!!!

Gruß

Alex

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich benötige bitte nur das Ergebnis und keinen längeren Lösungsweg."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)
Sinus (Mathematischer Grundbegriff)
Trigonometrie (Mathematischer Grundbegriff)
Wichtige trigonometrische Werte
Additionstheoreme
Sinusfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
Rechenregeln Trigonometrie
Tangensfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
Kosinusfunktion (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Definition von Sinus, Kosinus und Tangens
Einführung Funktionen
Lösen mit der Lösungsformel (pq-Formel)
Sinus und Kosinus für beliebige Winkel
Sinus- und Kosinusfunktion

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

funke_61 aktiv_icon

10:17 Uhr, 11.01.2010

vielleicht sind durchs Quadrieren (Umformung mit

{sin}^{2} β + {cos}^{2} β = 1)

ja Lösungen hinzugekommen ;-)

lg josef

Edddi aktiv_icon

10:30 Uhr, 11.01.2010

...es gibt unendlich viele Lösungen.

Die quadr. GL hat 2 Lösungen, wie du bereits berechnet hattest:

U_{1} = - 0,672

und

U_{2} = - 0,946

(durch das Quadrieren - keine Äquivalenzumformung - musst du die beiden Ergebnisse kontrollieren durch eine Probe. Die Ergebnisse stimmen)

Nun suchst du alle Lösungen für

β :

- 0,672 = cos (β)

β =

132,22°+

k \cdot

360°

wegen Symmetrie gilt:

cos (β) = cos (- β)

β =

-132,22°+

k \cdot

360° = 227,78°+

k \cdot

360°

das Gleiche jetzt für

U_{2} :

- 0,946 = cos (β)

β =

161,08°+

k \cdot

360°

wegen Symmetrie gilt:

cos (β) = cos (- β)

β =

-161,08°+

k \cdot

360° = 198,92°+

k \cdot

360°

...dies sind alle Lösungen.

Rund 47° und 18° könne keine Lösung sein, da der Sinus davon zw. 0 und 1 liegt.

Damit wäre der linke Term

7,392 \cdot sin (β)

zw. 0 und

7,392

und das würde bedeuten, das im rechten Term

13 + 11,196 \cdot cos (β)

der Term

cos (β)

negativ sein müsste, was er ja bekanntlich im 1. Quadranten nicht ist!

;-)

The-BlackJack aktiv_icon

13:18 Uhr, 12.01.2010

Viel dank Jungs habt mir sehr geholfen!

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