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Volumen eines Gefäßes berechnen, etc.

Universität / Fachhochschule

Tags: Ableitung, Gefäß, Höhe, Integral, Radius, volum, Wasseruhr

Thearchitect aktiv_icon

13:32 Uhr, 17.02.2016

Hallo liebes Forum, ich habe noch eine ziemlich schwierige Aufgabe, die ich nicht lösen kann.

Aufgabe:

Ein nach oben geöffnetes Gefäß hat eine Höhe von

0,5 m

und ist zu Beginn vollständig mit Wasser gefüllt. Die Kontur ist gegeben durch:

r (h) = (0,39 m^{\frac{3}{4}}) \cdot h^{\frac{1}{4}}

Hierin ist

r (h)

der Radius zur Höhe

h,

ausgehend von der Öffnung am Boden des Gefäßes. Hierin ist "h" die Symmetrieachse (Drehachse). Die Größe der Öffnung ist so gewählt, dass der Volumenstrom des austretenden Wassers beschrieben wird durch: dv/dt=

(- 0,00005 m^{3} {min}^{- 1}) \cdot h^{\frac{1}{2}}

a)

Wie groß ist das Volumen des Behälters?

b)

Zeigen Sie, dass die Höhe des Flüssigkeitsstandes

h

in dem Behälter sich linear mit der Zeit ändert (Wasseruhr!) Hinweis: Geben Sie zuerst dV/dh an.

c)

Nach welcher Zeit ist der Behälter leer?

Ich glaube, dass man das Volumen mithilfe eines Integrals und der Rotationskörperformel berechnen kann, nur kann ich das nicht vernünftig einsetzen.. Bin mir jedoch nicht sicher

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Ableitungsfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
Ableitungsregeln (Mathematischer Grundbegriff)
Kugel (Mathematischer Grundbegriff)
Kegel (Mathematischer Grundbegriff)

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Roman-22

14:01 Uhr, 17.02.2016

>

Ich glaube, dass man das Volumen mithilfe eines Integrals und der Rotationskörperformel berechnen kann,
Ja, vollkommen richtig

>

nur kann ich das nicht vernünftig einsetzen
?? was wo einsetzen? Woran scheiterst du?
Irritieren dich vl die Bezeichnungen? "r" ist das, was du vl bisher mit "x" bezeichnet hast und "h" ist dein bisheriges "y". Und der Körper entsteht durch Rotation des angegebenen Profils um die y-Achse, pardon, natürlich um die h-Achse.
Dass die Gleichung bereits nach

r

aufgelöst ist, ist für dich von Vorteil!

Wenns an etwas anderem krankt, stell einfach deine Rechnung hier ein, soweit du sie hast.
Zu deiner Kontrolle: Wenn du ein Volumen von ca.

112,627

Liter rausbekommst, hast du vermutlich richtig gerechnet.

R

Thearchitect aktiv_icon

15:21 Uhr, 17.02.2016

So, die Formel für einen Rotationskörper um die y-Achse lautet ja :

V = Π \cdot \int x^{2} \cdot y' \cdot d t,

sagt zumindest mein Tabellenbuch. Wenn ich da dann meine Werte für einsetze, steht da ja

V = Π \cdot \int r {(h)}^{2} \cdot h' \cdot d t,

oder? Also einfach die

r (h)

Funktion zum Quadrat nehmen und den Wert dann einsetzen? Dann frage ich mich jedoch, was es mit dem

h'

auf sich hat. Das verwirrt mich im Moment schon ziemlich. Der Rest ist ja klar, einfach die Stammfunktion bilden, in die Grenzen 0 und

0,5 m

einsetzen und mit dem

Π

multiplizieren.

Roman-22

15:49 Uhr, 17.02.2016

>

Dann frage ich mich jedoch, was es mit dem h′ auf sich hat.
Das frage ich mich auch. Vor allem stellt sich doch die Frage, wonach hier abgeleitet werden soll (nämlich nach

t)

. Und dann solltest du dich auch fragen, was in deinem Fall das

t

denn eigentlich ist (Antwort:

t = h

und somit

h' = 1)

.

Einfach blindlings eine Formel nachschlagen ohne die Rahmenbedingungen zu berücksichtigen ist nicht sehr schlau! Du hast eine Formel erwischt, die zur Anwendung kommt, wenn das Profil in Parameterdarstellung gegeben ist, also

x = x (t)

und

y = y (t)

. Das ist doch hier nicht der Fall (oder eben trivialerweise mit

t = h)

. Das ist in deiner Quelle sicher auch dabei gestanden und vermutlich findest du dort auch die hier nötige Formel

V_{y} = π \cdot \int_{y_{1}}^{y_{2}} x {(y)}^{2} d y

R

Thearchitect aktiv_icon

17:20 Uhr, 17.02.2016

Okay, jetzt hab ich die richtige Formel auch gefunden.

V = π \cdot \int r {(h)}^{2} \cdot

dh müsste ja richtig sein. Um

r {(h)}^{2}

auszurechnen, muss ich ja einfach

{(({0,39}^{\frac{3}{4}}) \cdot h^{\frac{1}{4}})}^{2}

rechnen, oder?

Roman-22

17:32 Uhr, 17.02.2016

Du musst das gegebene

r (h)

quadrieren!
Du hast da etwas anderes geschrieben.

Thearchitect aktiv_icon

17:33 Uhr, 17.02.2016

Ich steh gerade ein wenig auf dem Schlauch... Ich hab da jetzt

0,4935 h^{\frac{1}{16}}

für ausgerechnet, kann das sein? Aber ich finde es ziemlich schwierig, dafür die Stammfunktion zu bilden

Roman-22

17:36 Uhr, 17.02.2016

1)

Sieh dir die Angabe an. Du hast diese nicht quadriert (die Hochzahl

\frac{3}{4}

gilt nur für die Einheit

m)

2)

Potenzgesetze!!!

{(x^{a})}^{b} =

3)

Auch wenn dein

h^{\frac{1}{16}}

falsch ist - für eine Potenzfunktion solltest du wohl doch eine Stammfunktion finden, oder? Es gibt kaum einen einfacher zu integrierenden Funktionstyp.

\int x^{a} d x =

R

Thearchitect aktiv_icon

17:44 Uhr, 17.02.2016

Ich verstehe einfach nicht was das

m^{\frac{3}{4}}

zu bedeuten hat... das verwirrt mich extrem. Hab jetzt die Stammfunktion

\frac{0,39 m^{\frac{3}{4}} \cdot h^{\frac{3}{2}}}{1,5}

ermittelt

Roman-22

17:57 Uhr, 17.02.2016

>

Hab jetzt die Stammfunktion 0,39m34⋅h321,5 ermittelt
Stammfunktion wovon? Nicht von

r {(h)}^{2},

denn da müssten auch die

0,39

quadriert werden! Und die Einheit lässt du besser weg, denn

m^{\frac{3}{4}}

ist nicht richtig. Richtig wär hier

m^{\frac{3}{2}}

.
Ansonsten - ja, OK.

>

Ich verstehe einfach nicht was das

m 34

zu bedeuten hat
Das ist einfach die korrekte Einheit des Faktors

0,39

.

Du hast

r (h) = 0,39 [E i n h e i t] h^{\frac{1}{4}}

h

ist eine Länge und

r

soll eine Länge sein.

h^{\frac{1}{4}}

hat natürlich die Dimension

{(L a e n g e)}^{\frac{1}{4}}

und damit insgesamt wieder eine Länge rauskommt, muss noch mit

{(L a e n g e)}^{\frac{3}{4}}

(das ist dann die Dimension von den

0,39)

multipliziert werden, zB könnten die

0,39

die Einheit

m^{\frac{3}{4}}

haben und so ist das dann auch angegeben.

Auf das Rechenergebnis hat das keinen Einfluss - du könntest aber, wenn du die Einheiten in deiner Rechnung mitziehst, kontrollieren, ob das Volumen dann tatsächlich eines ist, ob also wirklich

{(L a e n g e)}^{3},

m^{3},

rauskommt.

Übrigens - bei dem Ausdruck, den du in der Angabe für

\frac{d V}{d t}

angegeben hast, stimmen die Einheiten nicht!

R

Thearchitect aktiv_icon

18:10 Uhr, 17.02.2016

So danke, ich habe jetzt auch

112,627

liter raus für das Volumen! :-) Hat also schonmal soweit geklappt... Nun weiß ich aber nicht wie es bei Aufgabe

b)

weitergehen soll :-D)

Roman-22

18:13 Uhr, 17.02.2016

Dass die Einheit da in der Angabe falsch ist hab ich gerade geschrieben.
Bei

b)

gibts doch den Hinweis, dass du

\frac{d V}{d h}

bilden sollst.
Da benötigst du natürlich zuallererst die Funktion

V (h)

V (0,5 m)

hast du ja gerade berechnet, also sollte

V (h)

nicht mehr so schwer sein und die darauffolgende Ableitung dann auch nicht.

V (h)

selbst wirst du möglicherweise gar nicht benötigen und

\frac{d V}{d h}

hast du eigentlich bereits ;-)

R

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18:38 Uhr, 17.02.2016

V (0,5 m) = 0,112627 m^{3},

aber ich weiß nicht wie ich

V (h)

aufstellen soll.

Roman-22

18:47 Uhr, 17.02.2016

Wie würdest du nun

V (0,2 m)

berechnen? Und wie

V (0,8 m)

? Was ändert sich da nur?
Und dann eben allgemein für

V (h)

.
Aber du benötigst ja nur die Ableitung

\frac{d V (h)}{d h}!!

Was ist nun eigentlich

\frac{d V}{d t}

wirklich. Stimmt der Wert (bis auf die Einheit)? Nach Korrektur der Einheit

(m^{3} \to m^{\frac{5}{2}})

ergibt sich damit eine Zeit von über 3 Tagen, bis das Gefäß leer ist!

R

Thearchitect aktiv_icon

18:54 Uhr, 17.02.2016

dV/dt=

(- 0,00005 m^{3} \cdot m^{- 1})

bedeutet doch einfach, dass das Gefäß

0,00005 m^{3}

pro Minute verlassen, oder? Und dazu dann noch

\cdot h^{\frac{1}{2}}

Roman-22

19:55 Uhr, 17.02.2016

>

dV/dt= (−0,00005m3⋅m−1) bedeutet doch einfach, dass das Gefäß

0,00005 m 3

pro Minute verlassen, oder?
Das allein wäre ja einheitenmäßig noch korrekt. Allerdings scheint das ja noch nicht alles zu sein.

>

Und dazu dann noch

\cdot h^{\frac{1}{2}}

Eben!!! Die Ausflussgeschwindigkeit ist ja nicht konstant, sondern hängt vom Flüssigkeitsstand

h

ab. Also wird, was die Einheiten anlangt, noch mit

m^{\frac{1}{2}}

multipliziert.
Die Dimension von

\frac{d V}{d t}

muss aber INSGESAMT Volumen durch Zeit, also zB

\frac{m^{3}}{m i n}

sein. Daher muss die Konstante

- 5 \cdot 10^{- 5}

die Einheit

\frac{m^{\frac{5}{2}}}{m i n}

haben.

R

Thearchitect aktiv_icon

00:58 Uhr, 18.02.2016

Hm, so wie du es sagst klingt es auf jeden Fall logisch... also lassen sich Aufgabe

b)

und

c)

nicht lösen? Ich versuche es einfach mal mit deiner Korrektur.

Roman-22

01:08 Uhr, 18.02.2016

>

also lassen sich Aufgabe

b)

und

c)

nicht lösen?
Doch, natürlich.
Formal wirst du eben die oben erwähnte Korrektur durchführen

(m^{3} \to m^{\frac{5}{2}})

aber das ändert ja überhaupt nichts an der Rechnung, die du ja auch ohne Einheiten durchführen kannst, wenn du beachtest (was hier sehr leicht ist) dass du alle Größen in der gleichen Grundeinheit (hier eben

m

und

s)

verwendest.

Meine Lösung zu

c),

wie oben schon angedeutet, 3 Tage, 7 Stunden,

38

Minuten,

21,746

Sekunden.

Für heute Nacht bin ich dann mal weg.

R

P . S . :

Ein letzter Tipp zu

b)

\frac{d V}{d t} = \frac{d V}{d h} \cdot \frac{d h}{d t}

Daraus

\frac{d h}{d t}

ermitteln. Es sollte sich eine Konstante einstelle, was bedeutet, dass

h (t)

eine lineare Funktion ist, was zu zeigen war.

\frac{d V}{d h}

ist dabei im Wesentliche die Funktion, die du über

h

integrieren musst, um

V (h)

zu erhalten (Aufgabe

a)),

also

π \cdot r {(h)}^{2}

.

Wenn du dann

h (t)

hast, ist es leicht, die Zeit für

c)

zu ermitteln. Löse

h (t) = 0

nach

t

auf.

Thearchitect aktiv_icon

01:59 Uhr, 18.02.2016

Danke, du hast mich echt gerettet... Du kannst dir nicht vorstellen, wie wichtig das für mich war, echt vieeeelen Dank! Hab dasselbe Ergebnis wie du raus :-) Gut, dass es Menschen wie dich gibt, die bereit sind, Versagern wie mir zu helfen, Respekt :-)

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