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Differentialquotient "h-Methode" Steigung an punkt

Schüler Gesamtschule, 11. Klassenstufe

Tags: Ableitung, Differentialquotient, Funktion, Grenzwert, h-methode, Punkt, Steigung

Amilo94 aktiv_icon

18:17 Uhr, 20.03.2011

Hallo, wir behandenln gerade den Differentialquotienten und zwar speziell die h-Methode.
Nun habne wir eine Aufgabe bekommen und ich komme nicht weiter.

Man soll die Steigung der Funktion an der stelle

x 0

berechnen.

f (x) = x^{2} - 3 x^{3}

x 0 = 1

Soo jetzt habe ich folgendes aufgestellt:

f (1) = lim_{h \to 0} \frac{{(1 + h)}^{2} - 3 \cdot {(1 + h)}^{3} - (- 2)}{h}

Ab da komme ich nicht mehr weiter. Denn wenn ich nun zusammenfasse kommt doch

\frac{h^{2} + h^{3}}{h}

raus.
Und das hilft mir doch für die Lösung nicht weiter oder?
Danke schonmal
Liebe Grüße

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Differenzenquotient (Mathematischer Grundbegriff)
Differenzierbarkeit (Mathematischer Grundbegriff)
Ableitung (Mathematischer Grundbegriff)
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)
Grenzwert (Mathematischer Grundbegriff)
Regel von l'Hospital (Mathematischer Grundbegriff)
Wichtige Grenzwerte
Ableitung einer Funktion an einer Stelle (Mathematischer Grundbegriff)
Ableitungsfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
Ableitungsregeln (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Ableiten mit der h-Methode
Ableitungsregeln für Polynomfunktionen
Ebene Geometrie - Einführung
Einführung Funktionen
Extrema / Terrassenpunkte
Grenzwerte - Linksseitiger/rechtsseitiger Grenzwert an einer Polstelle
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\frac{0}{0}

oder

\frac{\infty}{\infty}

herauskommt?

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18:34 Uhr, 20.03.2011

Hallo, wenn du weiter zusammenfasst kommst du zu:

$- 3 h^{2} - 8 h - 7$

Daraus:

$\lim_{h \to 0} - 3 h^{2} - 8 h - 7 = - 7$

Gruß

Amilo94 aktiv_icon

18:43 Uhr, 20.03.2011

Wieso denn? Könnten Sie das nocheinmal ausführlich aufschreiben?

AKNOT aktiv_icon

18:56 Uhr, 20.03.2011

Na, klar...komt man gern mal durcheinander :-)

Also mal nur der Zähler:

${(h + 1)}^{2} - {3 (h + 1)}^{3} + 2$

$= {(h + 1)}^{2} - {3 (h + 1) (h + 1)}^{2} + 2$

${= h}^{2} + 2 h + 1 - (3 h + 3) (h^{2} + 2 h + 1) + 2$

${= h}^{2} + 2 h + 1 + 3 - {3 h}^{3} - {6 h}^{2} - 3 h - {3 h}^{2} - 6 h - 3$

$= - 8 h^{2} - 3 h^{3} - 7 h$

$= h (- 8 h - {3 h}^{2} - 7)$

Dann das h aus dem Nenner wegkürzen und du hast es.

Gruß

Amilo94 aktiv_icon

19:15 Uhr, 20.03.2011

Also ist die Steigung am Punkt

x 0 = 1

AKNOT aktiv_icon

19:17 Uhr, 20.03.2011

Nee, -7.

Amilo94 aktiv_icon

19:20 Uhr, 20.03.2011

Wird das in der Klammer denn nicht positiv wenn ich kürze? Da steht doch dann nur noch

- (8 h - 3 h^{2} - 7)

das ist ja dann:

- 8 h + 3 h^{2} + 7

AKNOT aktiv_icon

19:28 Uhr, 20.03.2011

Sorry, war verrutscht das "-", so ist es richtig:

$\frac{h (- 8 h - {3 h}^{2} - 7)}{h}$

$\lim_{h \to 0} - 3 h - 3 h^{2} - 7 = - 7$

Mit der Gleichung aus deinem anderen Beitrag gehts dann für jeden Punkt.

Amilo94 aktiv_icon

14:48 Uhr, 21.03.2011

Ok,das verstehe ich nun soweit.
Nur eine Frage hätte ich noch.

In deiner Rechnung oben hast du geschrieben:

h^{2} + 2 h + 1 + 3 - 3 h^{3} - 6 h^{2}^- 3 h - 3 h^{2} - 6 h - 3

= - 8 h^{2} - 3 h^{3} - 7 h

Wo sind denn da die Zahlen ohne Variable geblieben? Oder lässt man die dann einfach weg?

AKNOT aktiv_icon

15:00 Uhr, 21.03.2011

Ah, Mensch immer noch nen Dreher drin, die 1 fälschlicherweise nochmal mit hingeschrieben.

= h^{2} + 2 h + 1 - (3 h + 3) (h^{2} + 2 h + 1) + 2

Das umgeformt und die 1 und die 2 addiert ergibt:

= h^{2} + 2 h + 3 - 3 h^{3} - 6 h^{2} - 3 h - 3 h^{2} - 6 h - 3

Und hier jetzt beim zusammenfassen:

3 - 3 = 0

fällt also raus.

Amilo94 aktiv_icon

16:26 Uhr, 21.03.2011

Ok vielen vielen Dank für die Zeit die Du dir genommen hast! :-)

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