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Periodische Funktionen

Universität / Fachhochschule

Tags: Ableitung, periodische Funktion, Quadratische Funktion

MacGyver

12:38 Uhr, 06.12.2011

Hallo,

in einer Aufgabe sollen alle quadratischen Funktionen bestimmt werden, die periodisch sind. Mein Lösungsansatz wäre hier:

f(ax²+bx+c+kp) = f(ax²+bx+c),

wobei k Element von Z und p Element von D ist.

Darüber hinaus soll gezeigt werden, dass die Ableitung einer periodischen Funktion ebenfalls periodisch ist.

Hier würde ich mit der h-Methode argumentieren:

f(x) = f(x+kp)

f'(x) = lim(x->0)((f(x+h+kp)-f(x+kp))/h)

Was meint ihr dazu und habt ihr vielleicht andere Lösungsansätze?

Beste Grüße

M.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

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14:38 Uhr, 06.12.2011

Wie sieht die allgemeine quadratische Funktion

f (x)

aus?
Wenn

f (x + p) = f (x)

für alle

x

gelten soll, was ergibt sich daraus?

MacGyver

23:03 Uhr, 06.12.2011

Die allgemeine quadratische Funktion lautet:

f(x) = ax²+bx+c

Lassen sich dann alle quadratischen Funktionen, die periodisch sind, wie folgt beschreiben:

f(x) = a(x+kp)²+b(x+kp)+c?

hagman aktiv_icon

12:34 Uhr, 07.12.2011

Für eine quadratische Funktion, die obendrein periodisch ist (mit Periode

p > 0),

müsste gelten

f (x) = f (x + p)

für alle

x

Mithin

a \cdot {(x + p)}^{2} + b \cdot (x + p) + c = a \cdot x^{2} + b \cdot x + c

für alle

x

\Leftrightarrow a \cdot (x^{2} + 2 p x + p^{2}) + b \cdot (x + p) + c = a \cdot x^{2} + b \cdot x + c

für alle

x

\Leftrightarrow a x^{2} + 2 a p x + a p^{2} + b x + b p + c = a \cdot x^{2} + b \cdot x + c

für alle

x

\Leftrightarrow 2 a p x + a p^{2} + b p = 0

für alle

x

Warum folgt hieraus

a = b = 0

MacGyver

18:14 Uhr, 07.12.2011

Deine letzte Frage ist nicht so schwer zu beantworten ;-) :

Da p > 0 ist müssen a und b 0 sein, damit

2apx+ap²+bp = 0

gilt.

Hmm, was bedeutet das für alle quadratischen Funktionen die periodisch sind? Wenn man mehrere quadratische Funktionen in Form von Parabeln "aneinanderreihen" würde, ergibt sich dann nicht eine Funktion höheren Grades?

Danke für deine bisherigen Antworten!

hagman aktiv_icon

21:50 Uhr, 07.12.2011

Es folgt offenbar, dass die einzigen quadratischen Funktionen, die periodisch sind, in Wirklichkeit nur konstant sind,

f (x) = c

.

Mehrere Parabeln kann man nicht so leicht "glatt" zusammenkleben

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