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Waagerechte Tangente/ trigonometrische Funktion

Schüler Abendgymnasium, 12. Klassenstufe

Tags: Ableitung, Tangent, Trigonometrie, Trigonometrische Funktionen, waagerechte Tangente

anonymous

17:39 Uhr, 31.10.2016

Guten Abend un willkommen zu meiner alltäglichen frage Runde.
Ich muss von den Funktionen

f (x) = 3 - sin x

und

g (x) = 4 cos x + 2 x

die waagerechte Tangente finden bzw. die Stellen an denen eine waagerechte Tangente liegt.

Die Ableitungen habe ich ohne Probleme hinbekommen:

f' (x) = - cos (x)

g' (x) = 2 - 4 sin (x)

nur ab jetzt stehe ich auf dem Schlauch.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Tangensfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
Kosinusfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
Sinusfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
Sinus (Mathematischer Grundbegriff)
Kosinus (Mathematischer Grundbegriff)
Trigonometrie (Mathematischer Grundbegriff)
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Rechenregeln Trigonometrie
Ableitung (Mathematischer Grundbegriff)
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Ableitung einer Funktion an einer Stelle (Mathematischer Grundbegriff)
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17:46 Uhr, 31.10.2016

Setze die Ableitungen Null:

- cos x = 0

cos x = 0

x = \frac{π}{2} + k \cdot π, k \in ℕ

analog für

g' (x) :

. .

anonymous

17:49 Uhr, 31.10.2016

Vielen Dank schonmal, da ich mein Abitur auf Fernschule neben dem Beruf mache muss ich mir alles selbst beibringen, deswegen weiss ich nicht was ist

k

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17:54 Uhr, 31.10.2016

Man muss die Periode des

cos

berücksichtigen, wenn kein Definitionsbereich genannt ist.

k

ist eine natürliche Zahl, die mit

π

zusammen die Periode ausdrückt.

anonymous

17:57 Uhr, 31.10.2016

Dass heißt theoretische kann ich einfach eine Zahl einsetzen?

z . B

(\frac{π}{2}) + 3 \cdot π

3 wäre da jetzt meine zufällig ausgewählte Zahl.

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18:01 Uhr, 31.10.2016

k

meint alle natürlichen Zahlen.

anonymous

18:04 Uhr, 31.10.2016

Okay also wenn ich es jetzt richtig verstanden habe dann müsste dass sogar schon die Antwort sein, denn man kann ja schlecht alle natürlichen Zahlen einsetzen.

abakus

18:06 Uhr, 31.10.2016

k kann auch negativ sein. Es geht nicht nur um die natürlichen, sondern um alle ganzen Zahlen.

anonymous

18:08 Uhr, 31.10.2016

Ja da hast du recht, das meinte ich ja also kann man theoretisch einfach

k

stehen lassen und dann hat man es sonst müsste man ja unendlich viele Zahlen ausprobieren. Ist das so von meinem Verständnis richtig ?

ledum aktiv_icon

01:26 Uhr, 01.11.2016

Hallo
Man müsste nicht "ausprobieren", sondern man weiss, dass

cos (x) 2 π

periodisch ist
wenn du sehr genau sein willst schreibst du

cos (x) = 0

für

x = \frac{π}{2} + k \cdot 2 π

k

inZZ
Gruß ledum

anonymous

16:57 Uhr, 01.11.2016

JA vielen dank für die schnelle Hilfe, allerdings will ich mir hier je nicht die Ergebnisse abgaunern sondern möchte auch verstehen warum es so ist, also warum genau weiss ich dass es so ist?

Gwunderi aktiv_icon

20:16 Uhr, 01.11.2016

Hallo Almanach,

Am besten kann man es vielleicht am Einheitskreis (siehe Bild) zeigen. Bei welchen Winkeln ist cos(x) = 0?
Erstmals bei 90°, dann bei -90° (bzw. 270°), also nach einer "Zeigerdrehung" um 180°.

Im Bogenmass entspricht ein ganzer Kreis 360° =

2 π

,
90° =

π / 2

,
270° =

\frac{3}{2} π

,
nach einer weiteren Drehung um 180° oder

π

sind es

\frac{5}{2} π

usw.

Immer nach einer Drehung um 180° =

π

ist also der Cosinus wieder = 0. Die Periodizität ist in diesem Fall also

π

, nach k Drehungen um 180° bzw.

π

ist der Cosinus wieder 0.

Kannst aus der Zeichnung auch "ablesen", wann der Cosinus jeweils 1 ist, mit welcher Periodizität, oder wann er jeweils -1 ist. Cos(x) = 1 bzw. = -1 haben dieselbe Periodizität (nicht dieselbe wie für cos(x) = 0.

Oder wenn Du die Funktion f(x) = cos(x) plottest, siehst Du auch, wann f(x) jeweils = 0 ist, am Einheitskreis scheint es mir aber "einleuchtender".

anonymous

20:41 Uhr, 02.11.2016

ja, vielen vielen Dank an alle :-)

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