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Ableitung von Funktion mit Bruch + Kurvendisk.

Schüler Gymnasium,

Tags: Ableitung, Kurvendiskussion

sunxx

16:17 Uhr, 26.12.2012

Ich brauche dringend Hilfe beim Ableiten dieser Funktionen:

x + 1 + \frac{1}{{(x + 1)}^{2}}

und

\frac{1}{12 + x^{2}} - \frac{1}{13}

ganz normale gebrochen rationale Funktionen kann ich ableiten nur mit dieser Art bin ich überfordert. Bei der sich anschließenden Kurvendiskussion (definitionsbereich, Nullstelle, Extremum, Monotonie, Wendepunkt) bin ich auch überfragt. Ich wüsste nicht wie ich das mit solch einer Funktion anstelle.

Vielen Dank im voraus.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Hierzu passend bei OnlineMathe:
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Ableitungsfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
Ableitungsregeln (Mathematischer Grundbegriff)
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)

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michael777 aktiv_icon

16:34 Uhr, 26.12.2012

Brüche werden mit der Quotientenregel abgeleitet
sollte die Quotientenregel nicht bekannt sein

(\in

BW wird sie bis zum Abi nicht mehr behandelt), dann den Bruch umformen (Nenner in den Zähler als Faktor mit negativer Hochzahl) und die Produktregel anwenden

bei zusammengesetzten Funktionen werden die einzelnen Summanden einzeln abgeleitet

f (x) = x + 1 + \frac{1}{{(x + 1)}^{2}}

die Summanden

x

und 1 werden unabhängig vom Bruch abgeleitet
(vgl. Summenregel der Ableitung)

Bruch mit Quotientenregel ableiten:

f' (x) = 1 + 0 + \frac{0 \cdot {(x + 1)}^{2} - 1 \cdot 2 \cdot (x + 1)}{{(x + 1)}^{4}} = 1 - \frac{2}{{(x + 1)}^{3}}

oder zunächst umformen und dann "normal" ableiten, hier ist weder die Produkt- noch die Kettenregel notwendig

f (x) = x + 1 + {(x + 1)}^{- 2}

f' (x) = 1 - 2 {(x + 1)}^{- 3} = 1 - \frac{2}{{(x + 1)}^{3}}

zweite Aufgabe:

f (x) = \frac{1}{12 + x^{2}} - \frac{1}{13}

ableiten mit der Quotientenregel:

f' (x) = \frac{0 \cdot (12 + x^{2}) - 1 \cdot 2 x}{{(12 + x^{2})}^{2}} - 0 = \frac{- 2 x}{{(12 + x^{2})}^{2}}

oder vorher umformen:

f (x) = {(12 + x^{2})}^{- 1} - \frac{1}{13}

Ableiten mit der Kettenregel,

12 + x^{2}

ist die innere Funktion

f' (x) = - {(12 + x^{2})}^{- 2} \cdot (2 x) = - \frac{2 x}{{(12 + x^{2})}^{2}}

Atlantik aktiv_icon

17:12 Uhr, 26.12.2012

f (x) = x + 1 + \frac{1}{{(x + 1)}^{2}}

kannst du durch Erweitern umschreiben in:

f (x) = \frac{x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 2}{{(x + 1)}^{2}}

Nullstellen:

x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 2 = 0

Durch Probieren findest du bei

x = - 2

eine Nullstelle.

Weitere Nullstellen durch Polynomdivision.

Polstelle (senkrechte Asymptote):

{(x + 1)}^{2} = 0

x = - 1

Eine schräge Asymptote hast du bei

g (x) = x + 1

mfG

Atlantik

Zeichnung war falsch, deswegen gelöscht.

anonymous

19:09 Uhr, 26.12.2012

1. Funktion

sunxx

20:05 Uhr, 26.12.2012

Vielen Dank, das hat mir echt weitergeholfen.
Nur verstehe ich nicht ganz wie die Funktion genau erweitert wird. Die folgenden Schritte kann ich nachvollziehen, danke.

Atlantik aktiv_icon

20:26 Uhr, 26.12.2012

x + 1 + \frac{1}{{(x + 1)}^{2}} = \frac{x \cdot {(x + 1)}^{2} + 1 \cdot {(x + 1)}^{2} + 1}{{(x + 1)}^{2}}

und dann den Zähler vereinfachen.

mfG

Atlantik

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