Mathematik online lernen im Mathe-Forum. Nachhilfe online

Startseite » Forum » Kurvendiskussion und ihre Probleme

Kurvendiskussion und ihre Probleme

Schüler Berufsschulen, 12. Klassenstufe

Tags: Ableitung, Extremstellen, Nullstellen, pq-Formel

BobDobalina

21:37 Uhr, 22.11.2009

Hallo,

ich hab ein Problem mit folgender Aufgabe:

f (x) = \frac{1}{4} x^{4} - \frac{3}{4} x^{3} + x

Nun heißt es sowohl Nullstellen, als auch Extremstellen auszurechnen. Und genau da happerts bei mir.

Bei den Nullstellen hab ich bisher nur folgenden Schritt geschafftxz

f (x) = x \cdot (\frac{1}{4} x^{3} - \frac{3}{4} x^{2} + 1)

Um nun aber die

p - q

Formel anzuwenden, müsste ich in der Klammer einen Exponenten von

x^{2}

bzw

x^{1}

haben. Wie schaff ich das denn?

Gleiches gilt für Extremstellen:

f' (x) = x^{3} - 2,25 x^{2} + 1

Keine p-q-Formel machbar

: <

Was tun?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Ableitung (Mathematischer Grundbegriff)
Differenzenquotient (Mathematischer Grundbegriff)
Differenzierbarkeit (Mathematischer Grundbegriff)
Ableitung einer Funktion an einer Stelle (Mathematischer Grundbegriff)
Ableitungsfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
Ableitungsregeln (Mathematischer Grundbegriff)
Nullstellen (Mathematischer Grundbegriff)
Vielfachheit einer Nullstelle (Mathematischer Grundbegriff)
Kurvendiskussion (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Ableiten mit der h-Methode
Ableitungsregeln für Polynomfunktionen
Allgemeine Exponentialfunktion - Fortgeschritten
Allgemeine Sinusfunktion
Extrema / Terrassenpunkte
Kettenregel
Lösen mit der Lösungsformel (pq-Formel)
Newton-Verfahren

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

Ableiten mit der Kettenregel

Wie leitet man mit der Kettenregel ab?

Wie leitet man verkettete Funktionen ab?

Ableiten mit der Produktregel

Wie leitet man mit der Produktregel ab?

Wie leitet man das Produkt zweier Funktionen ab?

Ableiten mit der Quotientenregel

Wie leitet man mit der Quotientenregel ab?

Wie leitet man den Quotienten zweier Funktionen ab?

Ableiten von Exponentialfunktionen

Wie leitet man Exponentialfunktionen ab?

Ableiten von Logarithmusfunktionen

Wie leitet man Logarithmusfunktionen ab?

Ableitung an einer Stelle

Wie bestimmt man die Ableitung

f' (x)

einer Funktion

f (x)

an der Stelle

x_{0}

Ableitung der trigonometrischen Funktionen

Wie lauten die Ableitungsfunktionen der Winkelfunktionen?

Wie lauten die Ableitungsfunktionen der trigonometrischen Funktionen?

Ableitung einer Polynomfunktion

Wie bestimmt man die Ableitung einer Polynomfunktion?

Ableitung einer Potenzfunktion mit ganzzahligem Exponenten

Wie bestimmt man die Ableitung einer Potenzfunktion mit ganzzahligem Exponenten?

Ableitung einer Summe zweier Funktionen

Wie bestimmt man die Ableitung einer Summe zweier Funktionen?

Ableitung eines Vielfachen einer Funktion

Wie bestimmt man die Ableitung eines Vielfachen einer Funktion?

Differenzenquotient berechnen

Wie wird der Differenzenquotient berechnet?

Differenzialquotient berechnen

Wie wird der Differenzialquotient berechnet?

Graph der 1.Ableitung und der Ausgangsfunktion

Wie hängt der Graph der 1.Ableitung mit dem Graph der Ausgangsfunktion zusammen?

Graphen der 1. und 2.Ableitung und Graph der Ausgangsfunktion

Wie hängen die Graphen der 1. und 2.Ableitung mit dem Graph der Ausgangsfunktion zusammen?

Herleitung: Ableitung der Kosinusfunktion

Wie leitet man die Kosinusfunktion ab?

Herleitung: Ableitung der Sinusfunktion

Wie leitet man die Sinusfunktion ab?

Herleitung: Ableitung der Tangensfunktion

Wie leitet man die Tangensfunktion ab?

Kurvendiskussion einer ganzrationalen Funktion 3. Grades

Wie führt man eine Kurvendiskussion einer ganzrationalen Funktion 3. Grades durch?

Kurvendiskussion einer ganzrationalen Funktion 5. Grades

Wie führt man eine Kurvendiskussion einer ganzrationalen Funktion 5. Grades durch?

Nullstellen einer Potenzfunktion bestimmen

Wie bestimmt man die Nullstellen einer Potenzfunktion?

Nullstellen einer Potenzfunktion bestimmen

Wie bestimmt man die Nullstellen einer Potenzfunktion wenn der Exponent

n = 2

oder

n = - 2

ist?

Nullstellen einer allg. Sinusfunktion bestimmen

Wie bestimmt man die Nullstellen einer allgemeinen Sinusfunktion?

Wie bestimmt man die Schnittpunkte einer allgemeinen Sinusfunktion mit der x-Achse?

Nullstellen von Polynomfunktionen

Wie bestimmt man die Nullstellen von Polynomfunktionen?

Steckbriefaufgaben (mit Ableitung)

Wie löst man Steckbriefaufgaben?

Wie löst man eine quadratische Gleichung?

Wie löst man eine quadratische Gleichung?

Wie bestimmt man die Nullstellen einer quadratischen Funktion?
Wo schneidet eine Parabel die x-Achse?

foresthomer aktiv_icon

21:50 Uhr, 22.11.2009

Hallo,
durch ausprobieren, findet man

x = - 1

als eine Lösung, dann macht man Polynomdivision:

(\frac{1}{4} \cdot x^{3} - \frac{3}{4} \cdot x^{2} + 1) : (x + 1)

dann hast du ja eine quadratische Gleichung, die man einfach lösen kann.

Gruß foresthomer

BobDobalina

22:03 Uhr, 22.11.2009

Durch ausprobieren die Nullstellen und Extremwerte rausbekommen? Das erscheint mir nicht so das Gelbe vom Ei zu sein.. das muss doch auch einfacher gehn

\frac{:}{}

foresthomer aktiv_icon

22:16 Uhr, 22.11.2009

Hallo,

naja meistens sind die Funktionen so, dass man es einfach sieht, so wie in dem Fall wo es

- 1

ist. Man schaut da immer nach dem letzten Teil ohne Variable... Einen anderen Weg sehe ich nicht, weil man nicht wirklich von alleine drauf kommt, dass

\frac{1}{4} \cdot x^{3} - \frac{3}{4} \cdot x^{2} + 1 = \frac{1}{4} \cdot (x + 1) {(x - 2)}^{2}

Also zumindest ich würde da jetzt nicht drauf kommen...

Im zweiten Teil der Aufgabe weiß, man dann ja auch wieder eine Nullstelle und zwar

x = 2,

weil eine Doppelte NS beim ableiten ja zur einfachen NS wird...

PS es gibt auch eine Lösegleichung für Gleichungen 3. Grades, aber da hat man mehr Aufwand und man braucht es nicht wirklich.. kannst ja mal googeln...

BobDobalina

23:36 Uhr, 22.11.2009

Ich kann leider nicht so ganz folgen..

Also wenn ich jetzt von der Ausgangsgleichung die Unbekannte einmal ausklammere und aus

f (x) = \frac{1}{4} x^{4} - \frac{3}{4} x^{3} + x

hier das wird:

f (x) = x (\frac{1}{4} x^{3} - \frac{3}{4} x^{2} + 1)

orientiere ich mich dann nur an das, was in der Klammer steht.. suche ich nun den Teil heraus, ohne Variable

-

in dem Fall

+ 1

dann ist die Nullstelle genau das, was diese Zahl zu 0 machen würde.. also

- 1 .

. hab ich das soweit verstanden?

aber wie kommt man dann auf 2 ?

foresthomer aktiv_icon

00:57 Uhr, 23.11.2009

Ja du versuchst ja nun den Term in der Klammer in Linearfaktoren zu zerlegen, damit du die Nullstellen bestimmen kannst. Dazu braucht man eine Lösung die man durch probieren findet

x = - 1

(1)

mit dieser Lösung führt man dann die Polynomdivision durch, ich schreib mal bloß das Ergebins hin (am besten man hätte am anfang auch gleich

\frac{1}{4}

mit ausgeklammert...)

(\frac{1}{4} \cdot x^{3} - \frac{3}{4} \cdot x^{2} + 1) : (x + 1) = \frac{1}{4} \cdot x^{2} - x + 1

(2)

Und diese Gleichung kannst du nun lösen

0 = \frac{1}{4} \cdot x^{2} - x + 1

0 = x^{2} - 4 \cdot x + 4

x 1,2 = 2 \pm \sqrt{4 - 4}

x 1,2 = 2 \to

doppelte NS

(3)

die Funktion kann man dann, wenn man will so darstellen:

y = \frac{1}{4} \cdot x (x + 1) {(x - 2)}^{2}

So sieht man, auch, dass die Ableitung auch eine NS an der Stelle

x = 2

haben muss.

Wenn du nun die Ableitung 0 setzt kannst du wieder eine Polynomdivison mit

(x - 2)

machen um auf deine Lösungen zu kommen...

Weißt du jetzt wie du vorgehen musst?

BobDobalina

14:08 Uhr, 23.11.2009

Hallo,
danke für die Mühen.. aber ich blick leider echt nicht durch

: (

Probleme machen mir die Polynomdivision. Unserer Lehrer hat gemeint, dass wir die nicht lernen müssen.. das Hornerschema würde ausreichen.

Von daher .. ich versteh - seit ich Mathe bei diesem Lehrer hab' - nur Bahnhof

: (

Also uns wurden auch die 3 Nullstellen (

0, - 1, 2),

sowie die Extremstellen

(- 0,59, 0,84

und

2)

und xw1 und xw2 (vermute mal das sind die Wendepunkte) mit

0,

bzw.

1,5

genannt.

Also noch ma ganz idiotensicher:

1. Nullstelle.. wenn ich das laut Lehrer richtig verstanden habe, dann ist die erste Nullstelle IMMER

0,

wenn man in der Ausgangsgleich die Variable irgendwie ausklammern kann.

2. Nullstelle.. wenn man in der Klammer dann sieht, dass es eine Zahl ohne Variable gibt, dann muss man die Zahl suchen, mit der sie 0 gestellt wird.

3. Nullstelle.. Polynomdivison? Aber die sollten wir doch gar nicht lernen.. was ist das denn?

Aber die

p - q

Formel bei

0 = \frac{1}{4} \cdot x^{2} - x + 1

anzuwenden wäre dann widerum kein Problem für mich.

Hm...

BobDobalina

18:59 Uhr, 23.11.2009

Problem besteht nachwievor - aber geht glaub ich unter

: O

foresthomer aktiv_icon

20:57 Uhr, 27.11.2009

Hallo,

also von "Hornerschema" habe ich noch nie was gehört, aber wenn du so, auf deine NS kommst dann mach es so.
Ich nehme mal an ihr dürft schon keinen GTR mehr benutzen, oder?

"2. Nullstelle.. wenn man in der Klammer dann sieht, dass es eine Zahl ohne Variable gibt, dann muss man die Zahl suchen, mit der sie 0 gestellt wird."

\to

das ist genau das wie ich auf mein erstes Ergbenis gekommen bin um meine Nullstelle zu finden.

Also ohne Polynomdivision sehe ich hier nicht wie man da ein Ergebnis erziehlen will, da wirst du dich wohl mal belesen müssen.

Ich zeig dir mal wie man hier auf das ergebnis kommt, ich hoffe es wird nicht unübersichtlich:

f (x) = \frac{1}{4} \cdot x^{4} - \frac{3}{4} \cdot x^{3} + x

(1)

Ausklammern von

x

und

\frac{1}{4}

f (x) = \frac{1}{4} \cdot x \cdot (x^{3} - 3 \cdot x^{2} + 4)

0 = \frac{1}{4} \cdot x \cdot (x^{3} - 3 \cdot x^{2} + 4)

0 = \frac{1}{4} \cdot x \to x_{1} = 0

0 = x^{3} - 3 \cdot x^{2} + 4

(2)

so durch Probieren hatten wir als eine Lösung

- 1,

jetzt wurde man eher auf die 2 kommen aber egal... man führt deshalb eine Polynomdivision durch

(x^{3} - 3 \cdot x^{2} + 4) : (x + 1) = x^{2} - 4 \cdot x + 4

- (x^{3} + 1 \cdot x^{2})

- - - - - -

- 4 \cdot x^{2} + 4

- (- 4 \cdot x^{2} - 4 \cdot x)

- - - - - - - -

4 \cdot x + 4

- (4 \cdot x + 4)

- - - - - -

0

Fragt einfach euren Lehrer, der muss sowas mit euch doch besprechen, ich weiß aus Erfahrung das man das so wahrscheinlich nicht versteht (aus meinen Schema), das muss man richtig erklärt bekommen und dann ist es ganz einfach :-)

Gruß foresthomer

Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.

686384

683136

	Status: nicht eingeloggt	Noch nicht registriert?